1.

(i) सदिशों `vecA` व `vecB` में, यदि `vecA + vecB + = vecC` तथा `A + B = C` हों, तो सिद्ध कीजिए `vecA` कि व `vecB` परस्पर समांतर हैं | (ii) यदि `vecA + vecB = vecB` तथा `A^(2) + B^(2) = C^(2)` हों, तो `vecA` व `vecB` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए |

Answer» (i) दिया हैं : `vecA + vecB = vecC`
दोनों ओर स्वतः अदिश गुणन करने पर
`(vecA + vecB) * (vecA + vecB) = vecC * vecC`
अथवा `vecA * vecA + vecA * vecB + vecB * vecA + vecB * vecB = vecC * vecC.`
परन्तु `vecA * vecB = vecB * vecA = AB cos theta`, जहाँ `theta` सदिशों `vecA` व `vecB` के बीच का कोण हैं
`therefore A^(2) + 2AB cos theta + B^(2) = C^(2)`
परन्तु `A + B = C` दिया हैं ), जिससे `A^(2) + 2AB + B^(2) = C^(2)`.
अंतिम दो समीकरणों की तुलना करने पर `cos theta = 1 = cos 0`
`therefore theta = 0`.
अतः `vecA` व `vecB` परस्पर समांतर व एक ही ओर की दिष्ट हैं |
(ii) दिया हैं `vecA + vecB = vecC`
दोनों ओर स्वतः अदिश गुणन करने पर
`(vecA + vecB)* (vecA + vecB) = vecC* vecC`
`A^(2) + B^(2) + 2vecA * vecB = C^(2)`
परन्तु `A^(2) + B^(2) = C^(2)` ( दिया हैं )
`therefore vecA * vecB = 0`
`A bot B" [therefore A ne 0, B ne 0]`
अतः `vecA` व `vecB` परस्पर लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच कोण `90^(@)` हैं|


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