InterviewSolution
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सिद्ध कीजिए कि `f:R rarr {x in R : -1 lt x lt 1}` जहाँ `f(x)=(x)/(1+|x|),x in R`द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है । |
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Answer» `f:R rarr R` तथा `f(x)=(x)/(1+|x|)` माना `x,y in R`तथा `f(x)=f(y)` `rArr (x)/(1+|x|)=(y)/(1+|y|)` यदि x धनात्मक और y ऋणात्मक है तो `x gt y rArr x-y gt 0` तथा `2xy lt 0` `:.(x)/(1+x)=(y)/(1-y)` `rArr y+xy=x-xy` `rArr 2xy=x-y` जो असम्भव है । इसी प्रकार `x` ऋणात्मक तथा `y` धनात्मक नहीं हो सकता । यदि `x` और `y` दोनों धनात्मक है तो `f(x)=f(y) rArr (x)/(1+x)=(y)/(1+y)` `rArr x+xy=y+xy` `rArr x=y` यदि x और y दोनों ऋणात्मक है तो `f(x)=f(y) rArr (x)/(1-x)=(y)/(1-y)` `rArrx-xy=y-xy` `rArrx=y` अतः f एकैकी है । माना `y in R`इस प्रकार है कि `-1 lt y lt 1` यदि y ऋणात्मक है तो `x=(y)/(1+y)in R` इस प्रकार है कि `f(x)=f((y)/(1+y))=((y)/(1+y))/(1+|(y)/(1+y)|)=((y)/(1+y))/(1-(y)/(1+y))=y` यदि y धनात्मक है तो `x=(y)/(1-y)in R `इस प्रकार है कि `f(x)=f((y)/(1-y))=((y)/(1-y))/(1+((y)/(1-y)))=((y)/(1-y))/(1+(y)/(1-y))=y` `:.` फलन f आच्छादक है । अतः f एकैकी आच्छादक है । `" "`यही सिद्ध करना था । |
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