1.

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय `A = {x in Z: 0 le x le 12}` में परिभाषित संबंध R = {`(a,b) : |a-b|, 4` का एक गुणज है} एक तुल्यता संबंध है। 1 से संबंधित सभी अवयवों को ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया गया है:
`A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}` और
R = {`(a,b) : |a -b|, 4` का एक गुणज है और `a, b in A`}
स्वतुल्यता: माना `a in A`, तब
`|a -a| = 0`, जो कि 4 का एक गुणज है।
`rArr (a,a) in R AA a in A`.
`:.` R, A में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `a, b in A` ऐसा है कि `(a,b) in R`, तब `(a,b) in R`
`rArr |a -b|, 4` का एक गुणज है।
`rArr |-(b-a)|, 4` का एक गुणज है।
`rArr |b-a|, 4` का एक गुणज है।
`rArr (b,a) in R`
`:.` R, A में सममित है।
संक्रामकता: माना `a, b, c in A` ऐसा है कि `(a,b) in R` और `(b,c) in R`, तब
`(a,b) in R` और `(b,c) in R`
`rArr |a-b|, 4` का एक गुणज है और `|b-c|, 4` का एक गुणज है।
`rArr |a-b| = 4p` और `|b-c| = 4q` जहाँ p,q पूर्णक है।
`rArr a- b= +- 4p` और `|b-c| = +- 4q`
`rArr (a - b) + (b-c) = +- 4p +- 4q`
`rArr a-c = 4 (+- p +-q)`
`rArr a-c, 4` का एक गुणज है।
`rArr |a-c|, 4` का एक गुणज है।
`rArr (a,c) in R AA a, b c in A`
अत: R,A में एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: माना B, 1 से संबंधित अवयवों का समुच्चय है।
`:. B = {a in A : (a,1) in R}`
`rArr` B = {`a in A : |a -1|, 4` का एक गुणज है}
`rArr` B = {`a in A : |1-1| = 0, |5-1| = 4, |9-1| =8` सभी 4 के गुणज है}
`rArr B = {1, 5, 9}`


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