1.

सिद्ध कीजिये कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में R = {`(T_(1), T_(2)) : T_(1), T_(2)` के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओ 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज `T_(1)`, भुजाओ 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज `T_(2)` तथा भुजाओ 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज `T_(3)` पर विचार कीजिये। `T_(1), T_(2)` और `T_(3)` में से कौन-से त्रिभुज परस्पर संबंधित है?

Answer» दिया गया है- R = {`(T_(1), T_(2)) : T_(1), T_(2)` के समरूप है `T_(1), T_(2) in A`} और जहाँ A समस्त त्रिभुजों का समुच्चय है।
स्वतुल्यता: माना `T_(1) in A`, तब `T_(1)` स्वयं के समरूप है क्योकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होते है।
`rArr (T_(1), T_(1)) in R AA T_(1) in A`
`:. R, A` में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `T_(1), T_(2) in A` ऐसा है कि `(T_(1), T_(2)) in R` तब `(T_(1), T_(2)) in R` .
`rArr T_(1), T_(2)` के समरूप है।
`rArr T_(2), T_(1)` के समरूप है।
`rArr (T_(2), T_(1)) in R AA T_(1), T_(2) in A`
`:. R, A` में सममित है।
संक्रामकता: माना `T_(1), T_(2), T_(3) in A` ऐसा है कि `(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R`, तब
`(T_(1), T_(2)) in R` और `(T_(2), T_(3)) in R`
`rArr T_(1), T_(2)` के समरूप है और `T_(2), T_(3)` के समरूप है।
`rArr T_(1), T_(3)` के समरूप है।
`rArr (T_(1), T_(3)) in R`
`:. R, A` में संक्रामक है।
स्पष्टत: संबंध R, A में स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: त्रिभुज `T_(1)` की भुजाएं 3, 4, 5 है, त्रिभुज `T_(2)` की भुजाएँ 5, 12, 13 है तथा त्रिभुज `T_(3)` की भुजाएँ 6, 8, 10 है।
त्रिभुज `T_(1)` और `T_(3)` की भुजाएँ समानुपाती है अर्थात
`(3)/(6) = (4)/(8) = (5)/(10) = (1)/(2)`
`:. T_(1), T_(3)` के समरूप है।
`rArr (T_(1), T_(3)) in R`
`rArr` त्रिभुज `T_(1)` और त्रिभुज `T_(3)` परस्पर संबंधित है।


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