InterviewSolution
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| 1. |
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं , की AB =BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि `AB^(n)=B^(n)A` होगा । इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त `ninN` के लिए `(AB)^(n)=A^(n)B^(n)` होगा| |
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Answer» प्रथम भाग प्रश्नानुसार , AB = BA . . . (1) सिद्ध करना है `AB^(n)=B^(n)A` n = 1 के लिये `AB^(1)=B^(1)A` `rArrAB=BA` जो दिया है । अतः दिया कथन n =1 के लिये सत्य है । माना दिया कथन n = k के लिये सत्य है । `thereforeAB^(k)=B^(k)A` . . . (2) n = k +1 के लिये, `AB^(k+1)=A(B^(k)B)` `=(AB^(k))B` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=(B^(k)A)B` (समीकरण (2) से) `=B^(k)(AB)` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=B^(k)(BA)` (समीकरण(1) से) `=(B^(k)B)A` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=B^(k+1)A` `rArr` दिया कथन n = k +1 के लिये भी सत्य है। `rArr` अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `AB^(n)=B^(n)A,n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है। दूसरा भाग सिद्ध करना है `(AB)^(n)=A^(n)B^(n)` n =1 के लिये, `(AB)^(1)=A^(1)B^(1)` `rArrAB=AB` जो सत्य है । `therefore` दिया कथन n =1 के लिये सत्य है। माना दिया कथन n =1 के लिये सत्य है । `therefore(AB)^(k)=A^(k)B^(k)` . . . (3) n = k + 1 के लिये `(AB)^(k+1)=(AB)^(k)(AB)` `=(A^(k)B^(k))(AB)` (समीकरण (3) से) `=A^(k)(B^(k)A)B` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=A^(k)(AB^(k))B` (समीकरण (2) से) `=(A^(k)A)(B^(k)B)` (गुणनफल के साहचर्य नियम से) `=A^(k+1)B^(k+1)` `rArr` दिया कथन n= k+1 के लिये भी सत्य है । अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `(AB)^(n)=A^(n)B^(n),n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है। यही सिद्ध करना था। |
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