1. (i) Let \(x\in (A\cup B)^c\) 

⇔ \(x \in U \;\text{but}\; x\notin(A\cup B)\)

⇔ \(x\in U\; \text{and}\;x\notin A \; \text{and}\; x\not\in B\)

⇔ \((x\in U \;\text{and}\; x\not\in A)\) and \(x\in U \;\text{and } x\not\in B\)

⇔ \(x\in A ^c \;\text{and}\; x\in B^c\)

⇔ \(x\in A^c \cap B^c\)

⇔ \((A \cup B)^c = A^c \cap B ^c\)

(ii) Let \(x\in (A\cap B)^c\) 

⇔ \(x \in U \;\text{but}\; x\notin(A\cap B)\)

⇔ \(x\in U\; \text{and}\;x\notin A \; \text{and}\; x\not\in B\)

⇔ \((x\in U \;\text{and}\; x\not\in A)\) and \(x\in U \;\text{and } x\not\in B\)

⇔ \(x\in A ^c \;\text{and}\; x\in B^c\)

⇔ \(x\in A^c \cup B^c\)

\(\implies\) implies that \((A \cap B)^c\; \underline C \;A^c \cup B^c\)

\(\impliedby \) implies that \(A^c \cup B^c \;\underline C \;(A \cup B)^c\)

∴ ⇔ implies that \((A \cap B)^c\; =\;A^c \cup B^c\) 

2. (i) Let \(x \in A - B\)

⇔ \(x \in A\; \text{and}\;x \notin B\)

⇔ \(x \in A\; \text{and}\;x \in B^c\)

⇔ \(x \in A \cap B ^c\)

⇔ \(A - B = A\cap B^c\)

(ii) Let \(x \in B- A\)

⇔ \(x \in B\; \text{and}\;x \notin A\)

⇔ \(x \in B\; \text{and}\;x \in A^c\)

⇔ \(x \in B \cap A ^c\)

⇔ \(B - A = B\cap A^c\)

(iii) A  - B = A

⇒ \(A \cap B ^c = A\)

⇒ \((A\cap B^c) \cap b = A \cap B\)

⇒ \(A \cap (B^c \cap B ) =A \cap B \)

⇒ \(A\cap \phi = A\cap B\)  \((\because B \cap B^c = \phi)\)

⇒ \(A \cap B = \phi\)         \((\because A \cap \phi = \phi)\)

(iv) \((A - B)\cup B = (A \cap B ^c)\cup B\)

\(= (A \cup B) \cap (B^c \cup B)\)

\(= (A \cup B) \cap U\)  \((\therefore B^c \cup B = U)\)

\(= A\cup B \)            \((\therefore A \cap U = A)\)

(v) \((A - B) \cap B = (A \cap B^c) \cap B \)

\(= A \cap (B^c \cap B)\) 

\(= A \cap \phi \)   \((\because B^c \cap B = \phi)\)

\(= \phi\)          \(\left(A \cap \phi = \phi\right)\)