InterviewSolution
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दिखाएँ कि `f : N rarr N` जो `f(x) = {{:("x+1, यदि x विषम है"),("x-1, यदि x सम है"):}` से परिभाषित है, एक एकैकी आच्छादक है। |
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Answer» साबित करना है कि f एकैकी है: माना कि m, `n in` प्रान्त N Case I. यदि m और n दोनों सम हैं, तो `f(m) = f(n) rArr m-1 = n-1` `rArr m=n` Case II. यदि m और n दोनों विषम है, तो `f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1` `rArr m = n` Case III. यदि m विषम तथा n सम है, तो `f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1` `:. f(m) !=f(n)` [`because m+1` सम है तथा n-1 विषम है] Case IV. यदि m सम तथा n विषम है, तो `f(m) = f(n) rArr m-1 = n+1` लेकिन m-1 विषम है तथा n+1 सम है। `:. m-1 != n+1` `:. f(m) != f(n)` इस प्रकार सभी स्थितियों मे `f(m) = f(n) rArr m = n` अतः f एकैकी है। साबित करना है कि f आच्छादक है: माना कि k सहप्रान्त N का एक स्वेच्छ अवयव है। Case I. यदि k विषम है, तो (k+1) सम होगा । अब `f(k+1) = (k+1)-1` [ f की परिभाषा से ] = k इस प्रकार `k + 1 in` प्रान्त का N, k प्रतिबिम्ब है। Case II. यदि k सम , तो (k-1) विषम होगा `f(k-1) = (k-1) + 1` [f की परिभाषा से ] इस प्रकार `k in` सहप्रान्त `N, k -1` का प्रतिबिम्ब है। अतः सहप्रान्त N का प्रत्येक अवयव, प्रान्त के किसी-न-किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है। अतः f आच्छादक है। इस प्रकार f एकैकी आच्छादक है। |
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