Let us consider the LHS

(c² – a² + b²), (a² – b² + c²), (b² – c² + a²)

As we know sine rule in Δ ABC

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Now, as LHS contain (c² – a² + b²), (a² – b² + c²) and (b² – c² + a²), which can be obtained from cosine formulae.

From the cosine formula we have:

Cos A = (b² + c² – a²)/2bc

2bc cos A = (b² + c² – a²)

Now, let us multiply both the sides by tan A we get,

2bc cos A tan A = (b² + c² – a²)tan A

2bc cos A (sin A/cos A) = (b² + c² – a²)tan A

2bc sin A = (b² + c² – a²)tan A … (i)

Cos B = (a² + c² – b²)/2ac

2ac cos B = (a² + c² – b²)

Now, let us multiply both the sides by tan B we get,

2ac cos B tan B = (a² + c² – b²)tan B

2ac cos B (sin B/cos B) = (a² + c² – b²)tan B

2ac sin B = (a² + c² – b²)tan B … (ii)

Cos C = (a² + b² – c²)/2ab

2ab cos C = (a² + b² – c²)

Then, let us multiply both the sides by tan C we get,

2ab cos C tan C = (a² + b² – c²)tan C

2ab cos C (sin C/cos C) = (a² + b² – c²)tan C

2ab sin C = (a² + b² – c²)tan C … (iii)

Now, as we are observing that sin terms are being involved therefore let’s use sine formula.

From the sine formula we have,

a/sin A = b/sin B = c/sin C

sin A/a = sin B/b = sin C/c 

Then, let us multiply abc to each of the expression we get,

abc sin A/a = abc sin B/b = abc sin C/c 

bc sin A = ac sin B = ab sin C

2bc sin A = 2ac sin B = 2ab sin C

∴ From the equation (i), (ii) and (iii) we have,

(c² – a² + b²)tan A = (a² – b² + c²)tan B = (b² – c² + a²)tan C

Thus proved.