Given -

​​\(\frac{{sinθ }}{{1 + cosθ }}\; + \;\frac{{1 + cosθ }}{{sinθ }} = \frac{4}{{√ 3 }}\)

Concept used -

sin2θ + cos2θ = 1

sinθ× sinθ = (1 - cos2θ)

sinθ× sinθ = (1 + cosθ)× (1 - cosθ)

{sinθ/(1 + cosθ)} ={(1 - cosθ)/sinθ}

Solution -

\(\frac{{sinθ }}{{1 + cosθ }}\; + \;\frac{{1 + cosθ }}{{sinθ }} = \frac{4}{{√ 3 }}\)

\(⇒ \frac{{sinθ \: \times (1 - cosθ) }}{{(1 + cosθ)(1 -\ cosθ) }}\; + \;\frac{{1 + cosθ }}{{sinθ }} = \frac{4}{{√ 3 }}\)

⇒ Sinθ(1 - cosθ)/1 - cos2θ + (1 + cosθ)/sinθ= 4/√3

⇒ Sinθ (1 - cosθ)/sin2θ +(1 + cosθ)/sinθ= 4/√3

\(⇒ \frac{{(1 - cosθ) }}{{sinθ }}\; + \;\frac{{1 + cosθ }}{{sinθ }} = \frac{4}{{√ 3 }}\)

⇒ (2/sinθ) = (4/√3)

⇒ sinθ = (√3/2) = sin60°

⇒θ = 60°

⇒(secθ + cotθ + cosecθ)- 1

⇒ (sec60° + cot60° + cosec60°)- 1

⇒ {2 + (1/√3) + (2/√3)}- 1

⇒ (2 +√3)- 1

⇒ 1/(2 +√3)

⇒ ( 2 -√3)

∴ Ans = (2 -√3).