InterviewSolution
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`int_(a)^(b)x^(2)dx` का योगफल की सीमा की सहायता से मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `f(x)=x^(2)` `rArr" "f(a+h)=(a+h)^(2),f(a+2h)=(a+2h)^(2),…f(a+nh)=(a+nh)^(2)` `therefore" "int_(a)^(b)f(x)dx=underset(harr0)(lim)f(x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(a+h)+f(a+2h)+…+f(a+nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h[(a+h)^(2)+(a+2h)^(2)+...+(a+nh)^(2)]` `=underset(hrarr0)(lim)[(a^(2)+2ah+h^(2))+(a^(2)+4ah+2^(2)h^(2))+...+(a^(2)+2anh+n^(2)h^(2))]` `=underset(hrarr0)(lim)h[n.a^(2)+2ah(1+2+3+...+n)+h^(2)(1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+n^(2))]` `=underset(hrarr0)(lim)h[na^(2)+2ah.(n(n+1))/(2)+h^(2)(n(n+1)(2n+1))/(6)]` `=underset(hrarr0)(lim)[a^(2).nh+a.nh.(nh+h)+(nh)/(6)(mh+h)(2nh+h)]` `=underset(hrarr0)(lim)[a^(2)(b-a)+a(b-a)(b-a+h)+(1)/(6)(b-a)(b-a+h)(2b-2a+h)]` `=a^(2)(b-a)+a(b-a)^(2)+(2)/(6)(b-a)^(33)` `=a^(2)(b-a)+a(b-a)^(2)+(2)/(6)(b-a)^(3)` `=(b-a)[a^(2)+a(b-a)+(1)/(3)(b-a)^(2)]` `=(b-a)((3ab+b^(2)+a^(2)-2ab))/(3)` `=(1)/(3)(b-a)(a^(2)+b^(2)+ab)` `=(1)/(3)(b^(3)-a^(3))` |
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