InterviewSolution
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मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित `**` एक द्विआधारी संक्रिया है : (i) `a**b=a-b " " (ii) a**b=a^(2)+b^(2)` (iii) `a**b=a+ab " " (iv) a**b=(a-b)^(2)` (v) `a**b=(a^(b))/(4) " " (vi) a**b=ab^(2)` ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन-सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौन - सी साहचर्य हैं ? |
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Answer» (i) Q में, `a**b=a-b` माना `a,b in Q` `:.a**b=a-b!=b-a!=b**a` `rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है । माना `a,b,c in Q` `:.a**(b**c)=a-(b-c)` `=a-b+c` तथा `(a**b)**c=(a-b)**c` `=a-b-c` `:.a**(b**c)!=(a**b)**c` अतः संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है । (ii)Q में, `a**b=a^(2)+b^(2)` माना `a,b in Q` `:.a**b=a^(2)+b^(2)` `=b^(2)=a^(2)=b**a` `rArr` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है । माना `a,b , c in Q` `:.a**(b**c)=a**(b^(2)+c^(2))` `=a^(2)+(b^(2)+c^(2))^(2)` तथा `(a**b)**c=(a^(2)+b^(2))**c` `=(a^(2)+b^(2))^(2)+c^(2)` `:.a**(b**c)!=(a**b)**c` `rArr`संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है । (iii) Q में, `a**b=a+ab` माना `a,b in Q` `:.a**b=a+ab` तथा `b**a=b+ba` अतः `a**b!=b**a` `rArr`संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है । माना `a,b,c in Q` `:.a**(b**c)=a**(b+bc)` `=a+a(b+bc)=a+ab+abc` तथा `(a**b)**c=(a+ab)**c` `=(a+ab)+(a+ab)c` `=a+ab+ac+abc` `:.a**(b**c)!=(a**b)**c` `rArr`संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है । (iv) Q में, `a**b=(a-b)^(2)` माना `a,b in Q` `:.a**b=(a-b)^(2)` `=(b-a)^(2)=b**a` `rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय है । माना `a,b,c in Q` `:.a**(b**c)=a**(b-c)^(2)` `=[a-(b-c)^(2)]^(2)` तथा `(a**b)**c=(a-b)^(2)**c` `=[(a-b)^(2)-c]^(2)` `:.a**(b**c)!=(a**b)**c` `rArr`संक्रिया `**` साहचर्य नहीं है । (v) Q में, `a**b=(ab)/(4)` माना `a,b in Q` `:.a**b=(ab)/(4)=(ba)/(4)=b**a` `rArr` संक्रिया `**` क्रमविनिमेय है । माना `a,b, c in Q` `:.a**(b**c)=a**((bc)/(4))=(a((bc)/(4)))/(4)` `=(((ab)/(4))c)/(4)=((ab)/(4))**c=(a**b)**c` `rArr` संक्रिया `**` साहचर्य है । (vi) Q में, `a**b=ab^(2)` माना `a,b in Q` `:.a**b=ab^(2)` तथा `b**a=ba^(2)` `:.a**b!=b**a` `rArr` संक्रिया `**`क्रमविनिमेय नहीं है । माना `a,b,c in Q` `:.a**(b**c)=a**(bc^(2))` `=a(b^(2))^(2)=ab^(2)c^(4)` तथा `(a**b)**c=(ab^(2))**c=ab^(2)c^(2)` `:.a**(b**c)!=(a**b)**c` `rArr `संक्रिया `**`साहचर्य नहीं है । |
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