InterviewSolution
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| 1. |
माना A = {1, 2, 3} है। तब सिद्ध कीजिये कि ऐसे संबंधो की संख्या तीन है, जिनमे (1, 2) और (2,3) है और जो स्वतुल्य तथा संक्रामक तो है किन्तु सममित नहीं है। |
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Answer» समुच्चय A में परिभाषित क्रमित युग्मो (1,2) और (2,3) सहित सबसे छोटा संबंध है। `R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)}` चूँकि `(1,2) in R` और`(2,3) in R` परन्तु `(1,3) notin R`. अत: R संक्रामक नहीं है। अब संबंध R को संक्रामक बनाने के लिए युग्म (1,3) बढ़ा दे, तो हमे निम्न संबंध प्राप्त होगा: `R_(1) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)}` यह संबंध `R_(1)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है क्योकि `(1,3) in R_(1)` जबकि `(3,1) notin R_(1)` पुन `R_(1)` में क्रमित युग्म (2,1) बढ़ाने पर हमे निम्न संबंध प्राप्त होगा: `R_(2) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3), (2,1)}` यह संबंध`R_(2)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। इसी प्रकार युग्म (3,2) और (3,1) बढ़ा दिया जाये, तो निम्न संबंध प्राप्त होता है: `R_(3) = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3), (3,2), (3,1)}` यह संबंध `R_(3)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। अत: उपरोक्त तीन संबंध `R_(1), R_(2)` और`R_(3)` स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। अब इस प्रक्रिया को जारी रखने पर प्राप्त संबंध सममित हो जायेगा जो अभीष्ट नहीं है। अत: अभीष्ट संबंधो की कुल संख्या तीन है। |
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