InterviewSolution
Saved Bookmarks
InterviewSolution
| 1. |
माना f : N `to R , f (x) = 4x^(2) + 12x + 15` व्दारा परिभाषित एक फलन हैं । सिद्ध कीजिए कि f : N`to`S , जहाँ S , जहाँ S , f का परिसर हैं , व्युत्क्रमणीय हैं । f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» यहाँ f : N `to R , f (x) = 4x^(2) + 12 x + 15 `. फलन f को व्युत्क्रमणीय सिद्ध करने के लिए यह सिद्ध करना पर्याप्त होगा कि f : N `to` S = f का परास एक एकैकी आच्छादक फलन हैं । f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in N ` तब `f(x_(1)) = f (x _(2))` `rArr 4x_(1) ^(2) + 12x_(1) + 5 = 4x_(2)^(2) + 12x_(2) + 5` `rArr 4 (x_(1)^(2) - x_(2)^(2)) + 12 (x_(1) - x_(2))` = 0 `rArr 4(x_(1) - x_(2)) (x_(1) + x_(2)) + 12(x_(1) - x_(2)) = 0 ` `rArr (x_(1) - x_(2) (4x_(1) + 4x_(2) + 12) = 0 ` `rArr x_(1) - x_(2) = 0 ` `[ therefore 4x_(1) + 4x_(2) + 12 ne 0` क्योंकि `x_(1) , x_(2) in N ` ] `rArr x_(1) = x_(2) ` `therefore f : N to S` एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : चूँकि f का परास = S इसलिए फलन f : N `to` S एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : चूँकि f का परास = S इसलिए फलन f : N `to`S आच्छादक हैं । अतः f एकैकी आच्छादक हैं इसलिए व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था । `f^(-1) ` ज्ञात करना : माना y = f (x) . `rArr y = 4x^(2) + 12x + 15 ` `rArr y = (4x^(2) 12x + 9) + 6` `rArr y = (2x + 3)^(2) + 6 ` `rArr (2x + 3)^(2) = y - 6 ` `rArr 2x + 3 = sqrt (y - 6) , y ge 6 ` `rArr 2x = sqrt(y - 6) - 3` `rArr x + (1)/(2) (sqrt(y - 6) - 3) ` `rArr f^(-1) (y) - =(1)/(2) (sqrt(y - 6 ) - 3)` `therefore f ^(-1) : S to N , f^(-1) (y) = (1)/(2) (sqrt ( y - 6) - 3)`. |
|