1.

माना XY- तल में स्थित समस्त रेखाओ का समुच्चय L है और L में R = {`(L_(1), L_(2)): L_(1)`, समांतर है `L_(2)` के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिये कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा `y = 2x + 4` से संबंधित समस्त रेखाओ का समुच्चय ज्ञात कीजिये।

Answer» दिया गया संबंध है:
R = {`(L_(1), L_(2)): L_(1)` समांतर है `L_(2)` के और `L_(1), L_(2) in L`} जहाँ L, XY-तल में स्थित समस्त रेखाओ का समुच्चय है।
स्वतुल्यता: माना `L_(1), L` में स्वच्छ रेखा है, तब `L_(1)` स्वयं के समांतर है क्योकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समांतर होती है।
`rArr L_(1) || L_(1)`
`rArr (L_(1), L_(1)) in R AA L_(1) in L`
`:. R, L` में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `L_(1), L_(2) in L` इस प्रकार है की `(L_(1), L_(2)) in R`, तब `(L_(1), L_(2)) in R rArr L_(1)` समांतर है `L_(2)` के।
`rArr L_(2)` समांतर है `L_(1)` के।
`rArr (L_(2), L_(1)) in R AA L_(1), L_(2) in L`
`:. R, L` में सममित है।
संक्रामकता : माना `L_(1), L_(2), L_(3) in L` इस प्रकार है की `(L_(1), L_(2)) in R` और `(L_(2), L_(3)) in R`, तब
`(L_(1), L_(2)) in R` और `(L_(2), L_(3)) in R`
`rArr L_(1)` समांतर है `L_(2)` के और `L_(3)` समांतर है के।
`rArr L_(1)` समांतर है `L_(3)` के।
`rArr (L_(1), L_(3)) in R`
`:. R, L` में संक्रामक है।
चूँकि सबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है अत: R एक तुल्यता संबंध है।
माना M रेखा `y = 2x + 4` से संबंधित रेखाओ का समुच्चय है। `rArr M =` { `L : L` समांतर है रेखा `y = 2x + 4` के}
`rArr M` = {L : L एक रेखा इस प्रकार है की `y = 2x + k`, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है}


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