निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए । `int_(0)^((pi)/(2))sin^(3)x dx =(2)/(3)`

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए

1.	निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए । `int_(0)^((pi)/(2))sin^(3)x dx =(2)/(3)`
Answer» माना `I=int_(0)^(pi//2)sin^(3)x dx` `" "=int_(0)^(pi//2)sin^(2)x. sinx dx` `" "=int_(0)^(pi//2)(1-cos^(2)x)sinxdx` माना `cosx=t` `rArr" "-sinx dx=dt` `rArr" "sinx dx = 0dt` तथा`" "x=0" "rArr" "t=cos 0 =1` और `" "x=(pi)/(2)" "rArr" "t=cos.(pi)/(2)=0` `therefore" "I=int_(0)^(pi//2)(1-cos^(2)x)sinx dx` `" "=int_(1)^(0)(1-t^(2))(-dt)=-[t-(t^(3))/(3)]_(1)^(0)` `" "=-{(0-0)-(1-(1)/(3))}=(2)/(3)`

निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए - `int_(0)^(pi//4)(1)/(1+cos2x)dx`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/(1+cos2x)dx`
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । (i) `int(2x^(3))/(4+x^(8))dx` (ii) `int(1)/(x^(2))sin.(1)/(x)dx`
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `inte^(x).(1+be^(x))^(n)dx`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/(1-cos2x)dx`
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(xdx)/((1+x^(2))^(3//2))`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1+cos2x)/(1-cos2x)dx`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- (i) `sqrt(1+sin.(x)/(2))dx`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `int(cos^(3)x+sin^(3)x)/(sin^(2)x.cos^(2)x)dx`
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `int tan^(2)xdx`