InterviewSolution
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| 1. |
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रमक हैं (i) समुच्चय `A={1,2,3,..., 13,14}` में सम्बन्ध R , इस प्रकार परिभाषित है कि `R={(x,y):3x-y=0}` (ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में `R{(x,y):y=x+5 " तथा " x lt 4}` द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R. (iii) समुच्चय `A={1,2,3,4,5,6}` में R={(x,y):y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है । (iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R={(x,y):x-y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R . (v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R (a) R={(x,y):x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं } (b) R={(x,y):x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } (c) R={(x,y):x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है } (d) R={(x,y):x,y कि पत्नी है} (e) R={(x,y):x,y के पिता हैं } |
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Answer» (i) `A={1,2,3,...,13,14}` तथा `R={(x,y):3x-y=0}` स्वतुल्य के लिये `(x,x) in R AA x in A` परन्तु `3x-y=0rArry=3x` `:.(x,x)cancelin R` यदि `x=2in A` `rArr R` स्वतुल्य नहीं है । सममित के लिये,`(x,y) in R rArr(y,x) in R AA x, y in R` अब `(x,y) in R rArr 3x-y=0` `rArr 3y-x!=0` `rArr (y,x)cancelin R` `:.R` सममित नहीं है । उदाहरणार्थ `(1,3)in R` तथा `(3,1) cancelin R` संक्रमक के लिये `(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R` `:.(1,3)in R ` तथा `(3,9)in R cancelrArr(1,9) in R` `rArr R` संक्रमक नहीं है । `(ii) R={(x,y):y=x+5 "तथा " x lt 4}` तथा N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है । `rArr R={(1,6),(2,7),(3,8)}` स्वतुल्य के लिये `(1,1)cancelin R` `rArr R` स्वतुल्य नहीं है । सममित के लिये,`(1,6) in R " " cancelrArr(6,1)in R` `rArr R` सममित नहीं है । संक्रमक के लिये,`(x,y) in R, (y,z) in R rArr (x,z) in R` कोई भी युग्म इस प्रतिबन्ध को संतुष्ट नहीं करता है । `:.R` संक्रमक नहीं है । `(iii) A = {1,2,3,4,5,6}` तथा `R={(x,y):y" भाज्य है" x " से"}` `rArrR={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}` प्रत्येक`x in A` के लिये `(x,x) in R` है । `:. R` स्वतुल्य है । प्रत्येक `x,y in R` के लिये, `(x,y) in R cancelrArr(y,x)in R` उदाहरणार्थ `(1,2)in R " " cancelrArr(2,1) in R` `:. R` सममित नहीं है । प्रत्येक `x, y, z in A ` के लिये, यदि `(x,y) in R, (y,z) in R` तो `(x,z) in R` है । `:.R` संक्रमक है । (iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में `R={(x,y):x-y "एक पूर्णांक है"}` स्वतुल्य के लिये `(x,x)in R rArr x-x`,एक पूर्णांक है । `rArr 0`, एक पूर्णांक है । जो सत्य है । `:.R` स्वतुल्य है । सममित के लिये`(x,y)in R rArr (x-y)` एक पूर्णांक है | `rArr (y-x)` एक पूर्णांक है । `rArr (y,x) in R` `:.R`सममित है । `:.` संक्रमक के लिये , `(x,y) in R` तथा `(y,z) in R` `rArr (x-y) ` तथा `(y-z)` एक पूर्णांक है । `rArr (x-y) + (y-z)` एक पूर्णांक है । `rArr (x-z)` एक पूर्णांक है ।`rArr(x,z) in R` `:. R` संक्रमक है । (v)(a) {(x,y : x और x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं } यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है । gt (b) R={(x,y) : x, और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रमक है । (c) R ={(x,y):x,y से ठीक - ठीक 7 सेमी लम्बा है ।} `(x,x)cancelin R`क्योंकि x,x से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता । `:. R ` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y ` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancel rArr y,x` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `rArr (y,x) in R ` `:. R` सममित नहीं है । `:.(x,y) in R` तथा `(y,z)in R rArr x, y` से तथा `y,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancelrArr x,z` से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है । `cancelrArr (x,y) in R` `:.R` संक्रमक नहीं है । (d) R={(x,y): x,y कि पत्नी है } `(x,x) cancelin R` क्योंकि `x,x` कि पत्नी नहीं हो सकती है । `:.R` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y` कि पत्नी है । `cancelrArr y,x` कि पत्नी है । `cancelrArr (y,x) in R` `:. R` सममित नहीं है । `(x,y)in R`तो `(y,z)cancelin R` क्योंकि यदि `x,y` कि पत्नी है तो `y` पुरुष है । `:.`R संक्रमक नहीं है (e) R={(x,y): x,y के पिता हैं } `(x,x)cancel R`क्योंकि `x,x` का पिता नहीं हो सकता है । `:.R` स्वतुल्य नहीं है । `(x,y) in R rArr x,y` के पिता हैं । `cancelrArr y,x` के पिता हैं । `cancel rArr (y,x) in R` `:.R` सममित नहीं है । `(x,y) in R` तथा `(y,z) in R rArr x,y`के तथा `y,z` के पिता है । `cancelrArr x,z` के पिता है । `cancelrArr(x,z) in R` `:. R` संक्रामक नहीं है । |
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