1.

फलन `int sin^(n) xdx` का x समाकलन सूत्र ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `I_(n)=int sin^(n)xdx" …(1)"`
`rArr" "I_(n)=int sin^(n-1)x sin x dx" "` (नोट कीजिए )
`sin^(n-1)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर ,
`I_(n)=sin^(n-1)x in sin x dx - int{(d)/(dx)sin^(n-1)x int sin x dx}dx`
`sin^(n-1)x(-cosx)-int[(-cosx)sin^(n-2)x cos x(-cosx)dx]`
`=sin^(n-1)x(-cosx)+(n-1)int sin^(n-2)x cos^(2) x dx`
`rArr" "I_(n)=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)int sin^(n-2)x (1-sin^(2)x)dx`
`rArr I_(n)=-sin^(n-1)x cosx+(n-1)int sin^(n-2)x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(n-1)xcosx+(n-1)int sin^(n-2)xdx-(n-1)int sin^(n)xdx`
`=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)intsin^(n-2)xdx-(n-1)I_(n)`
`" "` (समी० (1 ) से )
`rArr" "[1+(n-1)]I_(n)=-sin^(n-1)x cos x+(n-1)int sin^(n-2)xdx`
`rArr " "I_(n)=-(1)/(n)sin^(n-1)x cos x+((n-1)/(n))I_(n-2)`
यही अभीष्ट समानयन सूत्र है।
उपरोक्त विधि से हम निम्न समानयन सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं ।
1. `int cos^(n)xdx=(1)/(n)cos^(n-1)x sinx+(n-1)/(n)int cos^(n-2)xdx`
2. `int tan^(n)xdx=(1)/(n-1)tan^(n-1)x-int tan^(n-2)xdx`
3. `int cot^(n)xdx=-(1)/(n-1)cot^(n-1)x-int cot^(n-2)xdx`
4. `int"cosec"^(n)xdx=-("cosec"^(n-2)x cotx)/(n-1)+(n-2)/(n-1)int"cosec"^(n-2)xdx`
5. `int sec^(n)xdx=(sec^(n-1)xtanx)/(n-1)+(n-2)/(n-1)int sec^(n-2)xdx`


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