InterviewSolution
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| 1. |
प्राकृत संख्याएँ समूहों में निम्न प्रकार बाँटे गये है `1,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),………..` साबित कीजिए कि n वे समूह के संख्याओं का योग `(n)/(2)(n^(2)+1)` है। |
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Answer» यहाँ प्रत्येक समूह की संख्याएँ A. P. में है। जिसका c. d. 1 है। अतः n वे की संख्याएँ भी A. P. में होगी जिसका c. d. 1 होगी। पहले दूसरे, तीसरे ……….. Group में पदों की संख्याएँ क्रमशः 1, 2, 3,…………. है। इस A. P. का n वां पद =1+(n-1).1=n अतः n वे group में पदों की संख्या =n यहाँ समूह के पहले पद क्रमशः 1, 2, 4, 7,............. है। यदि सभी समूहों के पहले पदों का योग S हो और `t_(n),n` वे समूह का पहला पद हो तो `S=1+2+4+7+...............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(1)` फिर `S=1+2+4+...............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(2)` (2) में से (1) को घटाने पर, `0=1+[1+2+3+..........(n-1)` पदों तक `-t_(n)` `:.t_(n)=1=(n-1)/(2){2.1+(n-1-1).1}=1+((n-1)n)/(2)=(n^(2)-n+2)/(2)` अब n वे समूह का प्रथम पद `=(n^(2)-n+2)/(2)` तथा c.d =1 और पदों की संख्या =n है। `:.` n वे समूह के पदों का योगफल `=(n)/(2){(2.(n^(2)-n+2))/(2)+(n-1).1}` `=(n)/(2)(n^(2)-n+2+n-1)=(n)/(2)(n^(2)+1)` |
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