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Preuve que la racine 2 est irrationnelle.! |
Answer» Soit √2 un nombre rationnelPar conséquent, √2 = p / q [p et q sont DANS leurs moindres TERMES, c'est-à-dire HCF de (p, q) = 1 et q ≠ 0En quadrature des deux côtés, nous obtenonsp² = 2q² ... (1)Clairement, 2 est un facteur de 2q²⇒ 2 est un facteur de p² [puisque, 2q² = p²]⇒ 2 est un facteur de pSoit p = 2 m pour tout m (où m est un entier POSITIF)Au carré des deux côtés, nous obtenonsp² = 4 m² ... (2)De (1) et (2), on obtient2q² = 4m² ⇒ q² = 2m²De toute évidence, 2 est un facteur de 2 m²⇒ 2 est un facteur de q² [puisque q² = 2m²]⇒ 2 est un facteur de qAinsi, nous voyons que p et q ont tous deux un facteur 2 commun, ce QUI est une contradiction que H.C.F. de (p, q) = 1Par conséquent, notre supposition est faussePar conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre irrationnel.Hope this helps.... |
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