cos³A + cos³(120+A) + cos³(240 + A)

= cos³A + (cos 120 cos A - sin 120 sin A)³ + (cos 240 cos A - sin 240 sin A)³

(\(\because\) cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B)³

= cos³A + (-sin 30 cos A - cos 30 sin A)³ + (-sin 30 cos A + cos 30 sin A)³

\(\big(\)\(\because\) cos (90 + \(\theta\)) = -sin\(\theta\), cos (270 - \(\theta\)) = - sin\(\theta\) 

sin(90 + \(\theta\)) = cos\(\theta\), sin(270 - \(\theta\)) = -cos \(\theta\)\(\big)\)

= cos³A - \(\big( \frac{1}{2} cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} sin A\big)^3 + (\frac{\sqrt{3}}{2} sin A - \frac{1}{2} cos A\big)^3\)

\(\big(\)\(\because\) sin 30 = \(\frac{1}{2}\) & cos 30 = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\big)\)

= cos³A - (\(\frac{1}{8}\) cos³A + \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\) cos²A sin A + \(\frac{9}{8} \) cosAsin²A + \(\frac{3\sqrt{3}}{8} sin^3A\))

+ \(\frac{3\sqrt{3}}{8} \) sin³A - \(\frac{9}{8}\) sin²A cos A + \(\frac{3\sqrt{3}}{8} \) sin A cos² A - \(\frac{1}{8}\) cos³A

= cos³A - \(\frac{1}{4}\) cos³A - \(\frac{9}{4}\) cos A sin²A

= \(\frac{3}{4}\) cos³A - \(\frac{9}{4} \) cos A (1 - cos²A) (\(\because\) sin²A = 1 - cos²A)

= \(\frac{3}{4}\) cos³A - \(\frac{9}{4} \) cos A + \(\frac{9}{4} \) cos³A

 = 3 cos³A - \(\frac{9}{4}\) cos A

= \(\frac{3}{4}\) (4 cos³A - 3 cos A)

= \(\frac{3}{4}\) cos 3A