1.

साबित करे कि `|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ac,bc,c^(2)+1):}|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`

Answer» `Delta=(1)/(abc)|{:(a(a^(2)+1),ab^(2),ac^(2)),(a^(2)b,b(b^(2)+1),bc^(2)),(a^(2)c,b^(2)c,c(c^(2)+1)):}|" "[C_(1)toaC_(1),C_(2)tobC_(2),C_(3)tocC_(3)]`
`=(abc)/(abc)|{:(a^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2),b^(2)+1,c^(2)),(a^(2),b^(2),c^(2)+1):}|" "` [पहले, दूसरे तथा तीसरे कतार से क्रमशः a,b,c common लेने पर]
`=|{:(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2)+1,c^(2)),(1+a^(2)+b^(2)+c^(2),b^(2),c^(2)+1):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(1,b^(2),c^(2)),(1,b^(2)+1,c^(2)),(1,b^(2),c^(2)+1):}|`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|{:(1,b^(2),c^(2)),(0,1,0),(0,0,1):}|" "[R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1)]`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))*1|{:(1,0),(0,1):}|" "` [पहले column के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`


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