1.

सिद्ध कीजिए कि `A = {1, 2, 3, 4, 5}` में, R = {`(a,b) : |a - b|` सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

Answer» समुच्चय `A = {1, 2, 3, 4, 5}` में परिभाषित संबंध है-
R = {`(a,b) : |a-b|` सम है}
स्वतुल्य : माना `a in A` तब
`|a -a| =0` जो कि सम है। `rArr (a,a) in R`
`:.` R, A में स्वतुल्य है।
सममित: माना `a, b in A` ऐसा है कि `(a, b) in R`, तब
`(a, b) in R`
`rArr |a -b|` सम है।
`rArr |-(b -a)|` सम है।
`rArr |b -a|` सम है।
`rArr (b,a) in R`
`:.` R, A में सममित है।
संक्रामक : माना `a, b, c in A` ऐसा है कि `(a,b) in R` और `(b,c) in R`, तब
`(a,b) in R` और `(b,c) in R`
`rArr |a-b|` सम है और `|b-c|` सम है।
`rArr a-b = +- 2p` और `b-c = +- 2q` जहाँ p और q दो पूर्णक है।
`rArr (a-b) + (b-c) = +- 2p +- 2q`
`rArr a -c = 2 (+-p +-q)`
`rArr a-c` एक सम संख्या है।
`rArr |a-c|` सम है।
`rArr (a,c) in R`
`:.` R,A में संक्रामक है।
अत: R,A में एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: समुच्चय {1, 3, 5} में,
`|1-3| = 2, |3 -1| = 2, |3-5| = 2, |5-3| =2, |1-5| =4` और `|5-1|= 4` सभी सम संख्याएँ है।
अत: समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है। समुच्चय {2, 4} में,
`|2-4| = 2, |4 -2| =2` सभी सम है।
अत: समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित है।
पुन: समुच्चय {1, 3, 5} और {2, 4} में,
`|1-2| = 1, |1-4| =3, |3-2| =1, |3-4| = 1, |5-2| =3` और `|5-4| =1` सभी विषम है।
`:.` समुच्चय {1, 3,5} तथा समुच्चय {2, 4} के अवयव संबंधित नहीं है।


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