InterviewSolution
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सिद्ध कीजिए की वक्र `x=acos theta+a theta sin theta, y=a sin theta-a theta costheta` के किसी बिन्दु `theta` पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचार दूरी पर है। |
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Answer» दिया गया वक्र है, `x=a cos theta+a thetasin theta,` तथा `y=asin theta-a cos theta` `implies(dx)/(d theta)=-a sin theta+a(thetacos theta+sin theta)` `=-a sin theta+a theta cos theta+a sin theta` `implies(dx)/(d theta) =a cos theta-a[theta(-sin theta)+cos theta]` `=a cos theta +a theta sin theta-a cos theta` `implies(dy)/(d theta)=a theta sin theta` बिन्दु `theta` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=-(1)/((dy)/(dx))=-(1)/(tantheta)=-cot theta=-(cos theta)/(sin theta)` बिन्दु (x,y) पर अभिलम्ब का समीकरण `y-(a sintheta-acos theta)=-(costheta)/(sin theta)` `=-(cos theta)/(sin theta)[x-(a costheta+athetasintheta)]` `impliesysin theta -a sin ^(2)theta+a theta sin theta cos theta` `=-cos theta+a cos^(2)theta+a theta sin theta*cos theta` `impliesx cos theta+ysin theta=a(sin^(2)theta+cos^(2)theta)` `(because sin^(2) +cos ^(2)theta=1)` `x cos theta+y sin theta=a` `x cos theta+ysin theta-a=0` अब, मुलबिन्दु से अभिलम्ब की दूरी `=(।-a।)/(sqrt(cos^(2)theta+sin^(2)theta))` `implies=(।-a।)/(sqrt1)=।-a।" "(becausecos^(2)theta+sin^(2)theta=1)` जो `theta` से स्वतन्त्र है। अतः मुलबिन्दु से अभिलम्ब अचार दूरी पर है। |
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