1.

एक 28 सेमी लम्बे तार के दो टुकड़ो में विभक्त किया जाना है. एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है. दोनों दुकड़ो की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एव वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?

Answer» माना वृत्त की त्रिज्या r और वर्ग की भुजा x है.
`therefore` वृत्त की परिधि + वर्ग का परिमाप =28 सेमी
`implies2pir+4x=28`
`impliesx=(14-pir)/(2)" "...(1)`
और माना वृत्त का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल =A
`thereforeA =pir^(2)+x^(2)`
`=pir^(2)+((14-pir)/(2))^(2)` [समीकरण (1 ) से]
`=pir^(2)+1/4(pi^(2)r^(2)-29-28pir+196)`
`implies(dA)/(dr)=2pir+1/4(2pi^(2)r-28pi)`
और `(d^(2)A)/(dr^(2))=2pi+1/4(2pi^(2))`
उच्चिष्ट/निम्निष्ठ के लिये `(dA)/(dr)=0`
`implies2pir+1/4(2pi^(2)r-28pi)=0`
`impliespir+pi^(2)r-14pi=0`
`implies r(4+pi)=14`
`impliesr=(14)/(pi+4)`
`r=(14)/(pi+4)`पर
`(d^(2)A)/(pir^(2))gt0`
`implies` A न्यूनतम है.
अब `2pir=2pi((14)/(pi+4))=(28pi)/(pi+4)`
और `4x=28-2pir`
`=28-(28pi)/(pi+4)`सेमी और `(112)/(pi+4)` सेमी.


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