1.

सिद्ध कीजिये की समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, { R `= (P_(1), P_(2)) : P_(1)` तथा `P_(2)` की भुजाओ की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की बहुअओ वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया गया संबंध है-
R = {`(P_(1), P_(2)) : P_(1)` और `P_(2)` की भुजाओ की संख्या समान है तथा `P_(1), P_(2) in A`}
जहाँ A समस्त बहुभुजों का समुच्चय है।
स्वतुल्यता: माना `P_(1) in A` तब बहुभुज `P_(1)` में भुजाओ की संख्या स्वयं की भुजाओ की संख्या के समान होती है।
`rArr (P_(1), P_(1)) in R AA P_(1) in A`
`:. R, A` में स्वतुल्य है।
सममितता: माना `P_(1), P_(2), P_(3) in A` ऐसा है की `(P_(1), P_(2)) in R` और `(P_(2), P_(3)) in R`, तब
`(P_(1), P_(2)) in R` और `(P_(2), P_(3)) in R`
`rArr P_(1)` और `P_(2)` की भुजो की संख्या समान है तथा `P_(2)` और `P_(3)` की भुजाओ की संख्या समान है।
`rArr P_(1)` और `P_(3)` की भुजाओ की संख्या समान है।
`rArr (P_(1), P_(3)) in R AA P_(1), P_(2), P_(3) in A`
`:. R, A` में संक्रामक है।
अत: R एक तुल्यता संबंध है।
द्वितीय भाग: चूँकि समुच्चय A समतल में स्थित सभी बहुभुजों का समुच्चय है अर्थात A में त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज इत्यादि है। माना B ऐसे सभी बहुभुजों का समुच्चय है, जो समकोण त्रिभुज T जिसकी भुजाएँ 3,4 और 5 है, से संबंधित है।
`:.` B = {`P : (P, T) in R` जहाँ P, तीन भुजाओ का बहुभुज है}


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