InterviewSolution
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यदि a,b,c वास्तविक संख्याएँ है तथा `|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0`, तब दर्शाइये कि तो `a+b+c=0` या `a=b=c`. |
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Answer» यहाँ `Delta=|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|` `rArrDelta=|(2(a+b+c),c+a,a+b),(2(a+b+c),a+b,b+c),(2(a+b+c),b+c,c+a)|` संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से) `rArrDelta=2(a+b+c)|(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a)|` (`C_1` से 2(a+b+c) उभयनिष्ट लेने पर] `rArrDelta=2(a+b+c)|(1,c+a,a+b),(0,b-c,c-a),(0,b-a,c-b)|` ( संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से) `rArr Delta=2(a+b+c)xx1xx |(b-c,c-a),(b-c,c-b)|` (`C_1` के अनुदिश प्रसरण करने पर) `rArr Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(c-a)(b-a)]` `rArr Delta=2(a+b+c)[-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca]` `rArr Delta = -2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)` अतः `Delta` के गुणनखंड `a+b+c` और `a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca` है। दिया गया है - `Delta = 0` `rArr - 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0` `rArr (a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)=0` `rArr (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0` `rArr a+b+c=0` या `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0` `rArr a+b+c=0` या `a-b=b-c=c-a=0` `rArr a+bc=0` या `a=b=c`. |
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