InterviewSolution
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यदि `f : A rarr B` एकैकी आच्छादक है, तो दिखाएँ कि f एक व्युत्क्रमणीय फलन है। |
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Answer» दिया है, `f : A rarr B` एक फलन है तथा f एकैकी आच्छादक है। माना कि `y in B rArr` ऐसा `x in A` मिलेगा `f(x) = y` ताकि [`because f` आच्छादक है] चूँकि f एकैकी है, इसलिए y, A के केवल एक x का प्रतिबिम्ब होगा । इस प्रकार प्रत्येक `y in B`, के लिए अद्वितीय `x in A` मिलेगा ताकि `f (x) = y`. अब हम एक फलन `g : B rarr A, g(y) = x, y in B` के लिए परिभाषित करते हैं, जहाँ f(x) = y. इस प्रकार g, B से A में एक फलन है ताकि `g(y) = x hArr f(x) = y` अतः g, f का प्रतिलोम है। Second method: माना कि `y in B` अब `y in B rArr` ऐसा `x in A` मिलेगा ताकि f(x) = y [`because f` आच्छादक है ] लेकिन f एकैकी है, इसलिए `x in A` अद्वितीय होगा अब हम एक फलन `g : B rarr A, g(y) = x, y in B`, परिभाषित करते है जहाँ f(x) = y. अब `(fog)(y) = f(g(y)).f(x) = y` सभी `y in B` के लिए = f(x) `[because g(y) = x]` =y `[because f(x) = y]` अतः `fog = I_(B)` उसी तरह `(gof)(x) = f(f(x)) = g(y) = x`, सभी `x in A` के लिए अतः `gof = I_(A)` इस प्रकार `fog = I_(B)` तथा `gof = I_(A)` अतः g, f का प्रतिलोम है और इसलिए f व्युत्क्रमणीय है। |
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