1.

यदि n धनात्मक पूर्णांक है तो साबित कीजिए कि `2^(4n)-2^(n)(7n+1)`, 14 के वर्ग से विभाज्य है |

Answer» `2^(4n)-2^(n)(7n+1)=(16)^(n)-2^(n)(7n+1)`
`=(2+14)^(n)-2^(n).7n-2^(n)`
`=(2^(n)+""^(n)C_(1)2^(n-1).14+""^(n)C_(2)2^(n-2).14^(2)+...+14^(n))-2^(n).7n-2^(n)`
`=14^(2)(""^(n)C_(2)2^(n-2)+""^(n)C_(3)2^(n-3)14+...+14^(n-2))+(2^(n)+""^(n)C_(1).2^(n-1).14-2^(n).7n-2^(n))`
`=14^(2)(""^(n)C_(2)2^(n-2)+""^(n)C_(3)2^(n-3).14+...+14^(n-2))+(2^(n)+n2^(n-1).2^(1).7-2^(n).7n-2^(n))`
`=14^(2)(""^(n)C_(2).2^(n-2)+""^(n)C_(3).2^(n-3).14+......+14^(n-2))" "...(1)`
जो कि 14 के वर्ग से विभाज्य है |
Note : यदि n = 1 तो (1) में ब्रैकेट के अन्दर वाली संख्या = 0
`because""^(1)C_(2),""^(1)C_(3)...,` शून्य हो जायेगा और तब व्यंजक = 0, जो कि `14^(2)` से विभाज्य है


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