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1.

यदि `(1+x)^(n)` के विस्तार में 5वें, 6 वें तथा 7वें पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो n बराबर हैA. केवल 7B. केवल 14C. 7 अथवा 14D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
चूँकि `.^(n)C_(4), .^(n)C_(5)` तथा `.^(n)C_(6)` समान्तर श्रेढ़ी में हैं ।
`:. .^(n)C_(5)-.^(n)C_(4)=.^(n)C_(6)-.^(n)C_(5)`
`rArr (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))/(5!)-(n(n-1)(n-2)(n-3))/(4!)`
`=(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5))/(6!)-(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))/(5!)`
`rArr (n-4)/((5)4!)-(1)/(4!)=((n-4)(n-5))/((30)4!)-(n-4)/((5) 4!)`
`rArr 6(n-4)-30=(n-4)(n-5)-6(n-4)`
`rArr 6n-24-30=n^(2)-9n+20-6n+24`
`rArr n^(2)-21n+98=0`
`rArr n^(2)-14n-7n+98=0`
`rArr (n-14)(n-7)=0`
`:. n=7` अथवा `n=14`
Discussion
2.

`(2x^(2)-(1)/(3x^(2)))^(10)` में विस्तार में मध्य पद हैA. `-(896)/(27)`B. `(4580)/(17)`C. `(5580)/(17)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
चूँकि `(2x^(2)-(1)/(3x^(2)))^(10)` के प्रसार में 6वाँ पद मध्य पद होगा ।
`:. T_(6)=.^(10)C_(5)(2x^(2))^(5)((-1)/(3x^(2)))^(5)`
`=(10!)/(5!5!).(2^(5)xx10^(10)(-1)^(5))/(3^(5)xx x^(10))`
`=-(10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1).(32)/(243)=(-896)/(27)`
Discussion
3.

यदि `(x^(2)+(1)/(x))^(n)` में विस्तार में मध्य पद `924x^(6)` है, तो n का मान हैA. 8B. 10C. 12D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
चूँकि n सम है, इसलिए `((n)/(2)+1)`वाँ पद मध्य पद होगा ।
`:. T_(n/2+1)=.^(n)C_(n/2)(x^(2))^(n/2)((1)/(x))^(n//2)`
`rArr T_(n/2 +1)=.^(n)C_(n/2)x^(n//2)=924x^(6)` [ दिया है ]
`:. x^(n//2)=x^(6)rArrn//2=6rArrn=12`
Discussion
4.

सिद्ध कीजिये कि ` (1 + x ) ^( 2n ) ` के विस्तार में मध्य पद ` ( 1 * 3 * 5 ... ( 2n - 1 ))/( n! ) 2 ^n * x ^n ` है |

Answer» हमें ` ( 1 + x ) ^(2n ) ` का विस्तार करता है | यहां 2n एक सम संख्या है |
मध्य पद ` = (( 2n) /( 2 ) + 1 ) ` वां पद = ` ( n + 1 ) ` वां पद
` rArr ` मध्य पद = ` T _ ( n + 1 ) = "" ^(2n ) C _ n * 1 ^( 2n - n ) * x ^n `
` = ""^( 2n ) C _ n * x ^ n `
` = ( 2n! ) /( ( 2n - n ) ! * n ! ) * x ^n = (1 * 2 * 3 .... ( 2n - 2 ) ( 2n - 1 ) ( 2n )) /( n! * n! ) x ^n `
` = ([ 1* 3 * 5...( 2n- 3 ) ( 2n - 1 ) ] [ 2 * 4 *6 *... ( 2n - 2) (2n)]) / (n ! *n! ) x ^n `
= `( [ 1*3 * 5 ... (2n - 3 ) ( 2n - 1) ] [1 * 2 * 3*... (n - 1 ) n ] 2 ^n ) /( n! * n! ) x ^n `
` = [ ( 1* 3 * 5 ... ( 2n - 3 ) (2n - 1) ] n! ) /( n ! n! ) 2^n * x ^n `
` = ( 1 * 3 *5... ( 2n -1 ) ) /( n! ) 2 ^n * x ^n `
Discussion
5.

यदि ` a _ 1 , a _ 2, a _ 3, a _ 4, ( 1 + x ) ^n ` के विस्तार में चार कर्मगत पद है, तब सिद्ध कीजिये कि ` ( a _ 1 ) /( a _1 + a _ 2 ) + ( a _3 ) /( a _ 3 + a _ 4 ) = ( 2a _ 2 ) /( a _ 2 + a _ 3 ) `

Answer» माना ` a _ 1 , a _2, a _ 3 ` व ` a _ 4 ` चार कर्मगत पदों r वां पद, ` ( r + 1 ) ` वां , (r + 2 ) वां तथा (r + 3 ) वे पदों के गुणांक है |
तब ` a _ 1 = ""^n C _ ( r - 1 ) , a _ 2 = ""^n C _ r , a _ 3 = ""^ n C _ ( r + 1 ` तथा ` a _ 4 = ""^ n C _ ( r + 2 ) `
अब ` a _ 1 + a _ 2 = ""^n C _ ( r - 1 ) + ""^nC _ ( r ) = ""^ ( n +1 ) C _ ( r ) `
` a _ 2 + a _ 3 = ""^n C _ r = ""^n C _ ( r +1 ) = ""^ ( n + 1 ) C _ ( r + 1 ) `
तथा ` a _ 3 + a _ 4 = ""^ n C _ ( r + 1 ) + ""^n C _ ( r + 2 ) = ""^ (n + 1 ) C_ ( r + 2 ) `
इसलिए ` ( a _ 1 ) /( a _ 1 + a _ 2 ) + ( a _ 3 ) /( a _ 3 + a _ 4 ) = ( ""^C _ ( r - 1 ))/( ""^ ( n + 1 ) C _ r ) + ( ""^ n C _ ( r + 1 ) ) /( ""^ (n + 1 ) C _ ( r + 2 ) `
` = ( n! ) /( ( r - 1 ) ! ( n - r + 1 ) ! ) ( r! ( n + 1 - r )! ) /( (n + 1 ) ! ) + ( n! ) / ( ( r + 1 ) ! ( n - r - 1 ) ! ) * ( ( r + 2 ) ! ( n + 1 - r -2 ) ! ) /( ( n + 1 ) ! ) `
` =( 2 ^n C _ r ) /( ""^ (n + 1 ) C _ ( r + 1 )) = ( 2a _2 ) /( a _ 2 + a _ 3 ) `
Discussion
6.

यदि `(1+x)^(n)` के विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक 28, 56, 70 हैं, तो n का मान हैA. 6B. 4C. 8D. 10

Answer» Correct Answer - C
माना तीन क्रमागत पदों के गुणांक
`.^(n)C_(r-1), .^(n)C_(r)` और `.^(n)C_(r+1)` हैं ।
प्रश्नानुसार ,
`.^(n)C_(r-1)=28, .^(n)C_(r)=56`
तथा `.^(n)C_(r+1)=70`
`:. (.^(n)C_(r))/(.^(n)C_(r-1))=(n-r+1)/(r)=(56)/(28)=2`
`rArr n+1=3r` ...(i)
तथा
`:. (.^(n)C_(r))/(.^(n)C_(r-1))=(n-r+1)/(r)=(56)/(28)=2`
`rArr n+1=3r` ...(i)
समी (i) व (iii) से , `(4n-5)/(n+1)=3 rArr n=8`
Discussion
7.

` ( 1 + x ) ^n ` के विस्तार में यदि तीन कर्मगत पदों के गुणांक ` 6:33:110 ` के अनुपात में है, तो n का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - 12
Discussion
8.

`(1 + x)^(n+5)` के तीन क्रमागत पदों के गुणांक 5 : 10 : 14 के अनुपात में है, तब n का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `t_(r) t_(r+1)` तथा `t_(r+2)` दिए गए व्यंजक के तीन क्रमागत पद हो, तब
`.^(n+5)C_(r-1)":" .^(n+5)C_(r+1)=5 : 10 : 14`
`(.^(n+5)C_(r-1))/(.^(n+5)C_(r))=(5)/(10)`
`(r)/(n+5-(r-1))=(1)/(2)`
`n + 5 - r + 1 = 2r`
`n - r - 2r = -6`
`n - 3r = - 6" "...(i)`
और `(.^(n+5)C_(r))/(.^(n+5)C_(r+1))=(10)/(14)`
`(r+1)/(n-r+5)=(5)/(7)`
`5n-5r+25=7r+7`
`5n - 5r - 7r = -25 + 7`
`5n - 12r = -18" "...(ii)`
समीकरण (i) में 4 का गुणा करके समीकरण (ii) को घटाने पर,
`{:(4n-12r=-24),(5n-12r=-18),(ul((-)(+)" "(+))),(" "-n=-6):}`
या n = 6
अत: n का मान 6 है ।
Discussion
9.

` ( 1 + x ) ^n ` के प्रसार में यदि ` C _ 0 , C _ 1 ..., C _ n ` द्विपद गुणां है, तो सिद्ध कीजिए कि - ` C _ 0 ^ 1 - C _ 1 ^ 2 + C _ 2 ^ 2 - C _ 3 ^ 2 + ... + ( - 1 ) ^n C _ n ^ 2 = {{:(0",",, "यदि n विषम संख्या है |"),( (-1)^(n//2)*""^nC _ ( n//2)",",,"यदि n सम संख्या है|"):} `

Answer» हम जानते है कि ` ( 1 + x ) ^ n = C _ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 + ... + C _ n x ^ n " " `... (i)
तथा ` ( x + 1 ) ^n = C _ 0 x ^n + C _ 1 x ^ ( n - 1 ) + C _ 2 x ^ ( n - 2 ) + ... + C_ ( n - 1 )x + C _ n " " ` ... (ii)
समीकरण (i ) में x के स्थान पर -x रखने पर,
` ( 1 - x ) ^n = C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + ... ( - 1 ) ^ n C _ n x ^ n " " `...(iii)
समीकरण (ii ) व (iii ) की गुणा करने पर,
` (C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + ...+ ( -1 ) ^ n * C _ n x ^ n ) ( C _ 0 x ^ n + C _ 1 x ^ (n - 1 ) + C_ 2 x ^ ( n - 2 ) + .... + C _ n ) = ( 1 + x ) ^n ( 1 - x ) ^n `
` rArr ( C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + ... + ( - 1 ) ^n * C _ n x ^ n ) ( C _ 0 x ^ n + C_ 1 x ^ ( n -1) + C _ 2 x ^ (n - 2 ) + ... + C _ n ) = ( 1 - x ^ 2 )^n " " `...(iv)
दोनों ओर ` x^ n ` के गुणांकों की तुलना करने पर,
` C_ 0^ 2 - C _ 1 ^ 2 + C _ 2 ^ 2 - C _ 3 ^ 2 +... + ( - 1 ) ^n C _ n ^ 2 = ( 1 - x ^ 2 ) ^n ` में ` x^ n ` का गुणांक `" " `... (v)
समीकरण (v ) के दाँये पक्ष के प्रसार में सभी पद सम घात वाले होंगे |
` therefore ( 1 - x ^ 2 )^n ` में ` x ^ n ` का गुणांक = 0 , यदि n एक विषम प्राकृत संख्या है |
यदि n सम संख्या है | माना ` ( 1 - x ^ 2 ) ^n ` के प्रसार में ` ( r + 1 ) ` वां पद ` x ^n ` को रखता है |
तब ` T _ ( r + 1 ) =""^n C _ r ( - 1 ) ^ r ( x ^ 2 ) ^ r = ""^n C _ r ( -1 ) ^ r ( - 1 ) ^ r x ^ 2r `
यह ` x ^ n ` का पद रखेगा यदि ` 2r= n rArr r = ( n ) /( 2 ) `
` x ^ n ` का गुणांक ` = ""^n C _ (n// 2 ) ( -1 ) ^ ( n// 2 ) `
इसलिए `C _ 0 ^ 2 - C _ 1 ^ 2 + C _ 2 ^ 2 - ... + ( -1 ) ^n C _ n^ 2 = {{:( 0",",, "यदि n विषम संख्या है |"),(""^nC _ (n//2) ( - 1 ) ^n//2",",,"यदि n सम संख्या है |"):} `
Discussion
10.

यदि `(1 + ax + bx^(2))(1-2x)^(18)` के x कि घातो के प्रसार में `x^(3)` तथा `x^(4)` दोनों के गुणांक शून्य है, तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `(1 + ax + bx^(2))(1 - 2x)^(18)` के प्रसार में `x^(3)` का गुणांक =
`1 (1 - 2x)^(18)` में `x^(3)` का गुणांक `+ a(1-2x)^(18)` में `x^(2)` का गुणांक `+ b(1-2x)^(18)` में x का गुणांक
या `=-.^(18)C_(3)(2)^(3)+a.^(18)C_(2)(2)^(4)-b.^(18)C_(1)(2)`
`because x^(3)` का गुणांक = 0
`rArr -(18!)/(3!.15!)xx 8 + a xx (18!)/(2!.16!)xx 16 - b xx (18!)/(17!) xx 4 = 0`
`rArr -(18 xx 17 xx 16)/(3 xx 2) xx 8 + a xx (18 xx 17)/(2)xx 16 - b xx 18 xx 4 = 0`
`rArr 51 xx 16 xx 8 + a xx 18 xx 17 xx 8 - b xx 72 = 0`
`rArr 51 xx 16 + a xx 18 xx 17 - b xx 9 = 0`
`rArr 17 xx 16 + 102a - 3b = 0`
`rArr 272 + 102a - 3b = 0`
`rArr 102a - 3b = -272" "...(i)`
इसी प्रकार, `x^(4)` का गुणांक = 0
`.^(18)C_(4)(2)^(4)-a xx.^(18)C_(3)(2)^(3)+b xx .^(18)C_(2)(2)^(2)=0`
`rArr (18!)/(4!14!)xx 16 - a xx (18!)/(3!.15!(xx 8 + b xx (18!)/(2!.16!) xx 4 = 0`
`rArr (18 xx 17 xx 16 xx 15)/(4 xx 3 xx 2) xx 16 - a xx (18 xx 17 xx 16)/(3 xx 2)xx 8 + b xx (18 xx 17)/(2) xx 4 = 0`
`rArr 51 xx 64 xx 15 - 51 xx 16 xx 8a + 51 xx 12b = 0`
`rArr 16 xx 15 - 32a + 3b = 0`
`rArr 32a - 3b = 240" "...(ii)`
समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर,
a = 16 तथा `b = (272)/(3)`
Discussion
11.

यदि `y = ( 1 ) / ( 3 ) + ( 1 )/ ( 3) * ( 3) / ( 6) + (1 ) /(3) * ( 3 ) /( 6 ) * ( 5 ) /( 9 ) + ... oo ` तो सिद्ध कीजिये ` y^2 + 2y - 2 = 0 `

Answer» दी गयी श्रेणी के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
` y + 1 = 1 + ( 1 ) /( 3 ) + (1) / ( 3 ) * ( 3 ) /( 6 ) + ( 1 ) /( 3) * ( 3 ) / ( 6 ) * ( 5 ) /( 9 ) + ...oo" " `...(i)
` ( 1 + x ) ^n = 1 + n x + (n (n -1 )) / ( 2 ! ) x ^ 2 + ... oo" " `...(ii)
तुलना करने पर
` n x = (1 ) /( 3 ) " " `...(iii)
` (n(n-1 ))/( 2! ) x ^ 2 = ( 1 )/ ( 3 ) * ( 3 ) /( 6 ) " " `...(iv)
समीकरण (iv ) को (iii ) के वर्ग से भाग करने पर
` ((n ( n -1) x ^ 2 )/( 21))/( n^ 2 x ^ 2 ) = ( ( 1 ) /( 6 ) ) /( ((1)/( 3 ))^ 2 ) `
` (n -1 ) /(n ) = ( 3 )/ ( 1)`
` 3n = n - 1 `
` 3n - n = - 1 `
`2n = - 1 `
`n = - ( 1 ) /( 2 ) `
n का मान समीकरण (iii ) में रखने पर
` - (1 )/( 2 ) x = (1 ) /( 3 ) `
` x = - ( 2 ) /( 3) `
समीकरण (i ) व (ii) से,
` y + 1 = ( 1- (2 ) /( 3 ))^ ( -1//2 ) = ((1 ) /( 3))^ ( -1//2 ) = 3 ^( 1// 2 ) `
वर्ग करने पर
` y^ 2 + 1 + 2 y = 3` या ` y ^ 2 +2y - 2 = 0 `
Discussion
12.

` ( 1 + x ) ^n ( 1 - x ) ^n ` के प्रसार में ` x ^ 4 ` का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा इससे सिद्ध कीजिए कि - ` C _ 2 = C _ 0 C _ 4 - C _ 1C_ 3 + C _ 2 C_ 2 - C _ 3 C _ 1 +C _ 4 C _ 0 `

Answer» ` ( 1 + x) ^n ( 1 - x ) ^n = ( C _ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 + … + C _ n x ^n ) ( C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + … + ( - 1 ) ^n C _ n x ^n ) `
` rArr ( C _ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x^ 2 + C _ 3 x ^ 3 + ... + C_ n x^n ) ( C _ 0 - C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 - C _ 3 x ^ 3 + ... + ( - 1 ) ^n C _ n x^n ) `
दाँये पक्ष में ` x ^ 4 ` का गुणांक = ` C _ 0 C _ 4 - C _ 1 C_ 3 + C _ 2 C_ 2 - C _ 3 C _ 1 +C_ 4C _ 0 `
तथा ` ( 1 + x) ^n ( 1 - x ) ^n = (1 - x ^ 2 )^n = ""^ n C _ 0 - ""^ n C _ 1 x ^ 2 + ""^ n C _ 2 x ^ 4 - ""^n C _ 3 x^ 6 + ... + ( - 1 ) ^n C _ n x ^ (2n ) `
इसलिए, `x^ 4 ` का गुणांक = ` ""^n C_ 2 = C _ 2 `
इसलिए ` C _ 0 C _ 4- C _ 1 C _ 3 + C_ 2 C_ 2 - C _ 3C_ 1 + C _ 4 C _ 0 =C _ 2 `
Discussion
13.

सिद्ध कीजिए कि - (i) ` 1^ 2 * C_ 1 + 2 ^ 2 * C _ 2 + 3 ^ 2 * C_ 3 + ... + n^ 2 * C _ n = n ( n+ 1 ) 2 ^ (n - 2 ) ` (ii) ` a C _ 0 + ( a + b ) C _ 1 + ( a + 2b ) C _ 2 + ... + ( a + nb ) C _ n = ( 2a + nb ) 2 ^ (n- 1 ) ` (iii) ` C _ 3 + 2 C _ 4 + 3C_ 5 + ... + (n - 2 ) C _ n = (n - 4 ) 2^ ( n - 1 ) + n + 2 , ` जहाँ ` n gt 3 ` (iv) ` C _ 0 - C _ 1 + C _ 2 - C_ 3 + ... + ( -1 ) ^nC _ n = 0 `

Answer» (i) ` 1 ^ 2 * C _ 1 + 2 ^ 2 * C _ 2 + 3 ^ 2 * C _ 3 + … + n^ 2 * C_ n `
` = sum _ ( r = 1 ) ^ n r ^ 2 C_ r = sum _ ( r= 1 ) ^ n r ^ 2 ""^ n C _ r = sum _ ( r = 1 ) ^ n [r ( r - 1 ) + r] ""^ nC _ r `
` = sum _ ( r = 1 ) ^ n r ( r- 1 ) ""^n C _ r + sum _ ( r = 1 ) ^ n r * ""^ n C _ r `
` = sum _ ( r = 2 ) ^n r * (r -1 ) (n ) / ( r ) ( ( n-1 ) )/( (r - 1 )) ""^ (n - 2 ) C _ ( r - 2 ) + sum _ (r = 1 ) ^n r * ( n ) /( r ) ""^ (n- 1 ) C _ ( r - 1 ) `
` = n ( n - 1 ) ( sum _ ( r = 2 )^n ""^ (n - 2 ) C_ ( r- 2 ) ) + n ( sum - ( r=1)^ n ""^ (n- 1 ) C_ ( r - 1 )) `
` = n (n - 1) [""^ ( n -2 )C_ 0 +""^ ( n -2 ) C_ 1 + ... + ""^ (n - 2 ) C_ ( n - 2 ) ] + n[ ""^ (n - 1 ) C_ 0 + ""^ (n - 1 )C_ 1 + ... + ""^ (n - 1 ) C_ (n - 1 ) ] `
(ii) ` a C _ 0 + ( a + b ) C_ 1 + (a + 2b ) C_ 2 + ... + ( a + n b ) C _ n `
` = sum _ ( r = 0 ) ^n ( a + r b ) ""^ nC _ r = sum _ ( r = 0 ) ^ n a * ""^ n C _ r + sum _ ( r = 0 ) ^n rb""^ n C_ r = a ( sum _ ( r= 0 ) ^n ""^n C _ r ) + b ( sum _ ( r = 0 ) ^n r * ""^ nC _ r ) `
` = a ( sum _ ( r = 0 ) ^ n ""^ n C_ r ) + b ( sum_ ( r = 1 )^ n r * ( n)/( r ) ""^ (n - 1 ) C_ ( r - 1 ) ) = a ( sum _ ( r=0 )^n ""^n C _ r ) + bn ( sum _ ( r = 1 ) ^ n ""^ (n - 1 ) C _ ( r - 1 ) ) `
` = a2^n + bn2^(n- 1 ) " " [ because sum _ ( r = 0 ) ^ n ""^ n C_ r = 2^n , sum _ ( r = 1 ) ^n ""^ ( n - 1 ) C _ ( r - 1 ) = 2 ^ (n - 1 ) ] `
` = ( 2a + bn ) 2 ^ (n - 1 ) `
(iii) ` C _ 3 + 2C _ 4 + 3C _ 5 + ... + (n - 2 ) C_ n = sum _ ( r = 3 ) ^n ( r - 2 ) C_ r `
` = sum_ ( r = 3 ) ^n ( r- 2 ) ""^ n C _ r = sum _ ( r = 3 ) ^ n r * ""^ n C_ r = sum _ ( r = 3 ) ^n r * ( n ) /( r ) ""^ (n- 1 ) C _ ( r - 1 ) -2 sum_ ( r = 3 ) ^ n ""^ n C _ r `
` = n ( sum _ ( r = 3 ) ^ n ""^ (n - 1 ) C_ ( r -1 )) - 2 ( sum _ ( r = 3 )^ n ""^ n C _ r ) `
` = n ( ""^ ( n - 1 ) C_ 2 + ""^ (n - 1 ) C _ 3 + ... + ""^ (n - 1 ) C _ ( n - 1 )) - 2 ( ""^ nC _ 3 + ""^n C _ 4 + ... + ""^ n C _ n ) `
` = n[ ( ""^ ( n - 1 ) C_ 0 + ""^ (n - 1 ) C _ 1 + ""^ (n - 1 ) C _ 2 ... + ""^ ( n - 1 ) C _ (n - 1 ) ) - ( ""^ ( n - 1 ) C _ 0 + ""^ (n- 1 ) C_ 1 ) ] `
` -2[ ( 2^n C _ 0 + ""^n C_ 1 + ""^ n C _ 2 + ""^ n C_ 3 + ... + ""^n C _n ) - ( ""^n C _ 0 + ""^n C _ 1 + ""^n C _ 2 ) ] `
` = n [ 2 ^ ( n - 1 ) - { 1 + ( n - 1 ) }] - 2[ 2^n - ( 1+ n + (n ( n- 1 )) / ( 2 ) ) ] `
` = n[ 2 ^ (n - 1 ) - n ] - 2[ 2^n - ((n^ 2 + n + 2 ) /( 2)) ] `
` = n*2 ^ (n - 1 ) - n^ 2 - 2 * 2 ^ n + n^ 2 + n + 2 = n* 2 ^ (n - 1 ) - 2^(n + 1 ) + n + 2 `
` = (n - 4 ) 2 ^ (n - 1 ) + n + 2 `
(vi) ` ( 1 + x ) ^n = C_ 0 + C _ 1 x + C _ 2 x ^ 2 + C_ 3 x ^ 3 + ...+C_ n x ^n `
` x = - 1 ` रखने पर , ` C _ 0 - C _ 1 + C _ 2 - C _ 3 + … + (-1 ) ^n C_ n = 0 `
Discussion
14.

`(x-2y)^(12)` के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `-1760x^(9)y^(3)`
Discussion
15.

`(0.99)^(5)` के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `0.9510`
Discussion
16.

`(x+a)^(n)` के विस्तार में तीसरा, चौथा तथा पाँचवाँ पद क्रमशः 84, 280 तथा 560 है, तो a का मान होगाA. 2B. 3C. 6D. 4

Answer» Correct Answer - A
`(T_(4))/(T_(3))=(n-2)/(a).(a)/(x)rArr(280)/(84)`
`rArr (7-2)/(3).(a)/(x)=(10)/(3)`
`rArr 5/3.a/x=10/3 rArr x=a/2`
अब , `T_(3)=84`
`rArr .^(n)C_(2)x^(n-2)a^(2)=84 rArr .^(7)C_(2)x^(5)a^(2)=84`
`rArr 21(a/2)^(5)a^(2)=84`
`rArr a^(7)=2^(7)rArr a=2`
Discussion
17.

यदि `(root(4)(2) + (1)/(root(4)(3)))^(n)` के प्रसार में आरम्भ से 5 वे और अंत से 5 वे पद का अनुपात `sqrt(6) : 1` हो, तो n ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - n = 10
Discussion
18.

` ( 1 + 3x ) ^9 ` के प्रसार में अंत में तीसरा पद ज्ञात कीजिए |

Answer» `78732 x ^ 7 `
Discussion
19.

द्विपद प्रमेय द्वारा विस्तार कीजिये - (i) ` ( 2x - 3y ) ^ 4 ` (ii) ` ( 1 + x + x^ 2) ^ 3 ` (iii) ` (1 - x + x ^ 2 ) ^ 4 ` (iv) ` (x + (1 )/ (y) ) ^(11) ` (v) ` (x ^ 2 - (2 )/ (x) ) ^ 7 ` (vi ) ` (1 + x - x ^ 2 ) ^ 4 `

Answer» (i) द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर,
` (2x- 3y ) ^ 4 = {2x + ( -3y ) }^ 4 `
` = ""^4 C _ 0 (2x) ^ 4 ( - 3y ) ^( 0 ) + ""^4C _ 1 ( 2x ) ^ 3 ( - 3y ) + ""^ 4 C _ 2 ( 2x ) ^ 2 ( - 3y ) ^ 2 + ""^ 4 C _ 3 ( 2x ) ^ 1 ( -3y ) ^ 3 + ""^ 4C _ 4 (2x ) ^0 ( -3y ) ^ 4 `
` = 16 x ^ 4 + 4 ( 8x ^ 3 ) ( - 3 y ) + 6 ( 4x ^ 2 ) ( 9y ^ 2) + 4 ( 2x) ( - 27 y^3 ) + 81 y^ 4 `
` = 16 x^ 4 - 96 x ^ 3 y + 216 x ^ 2 y ^ 2 - 216 xy ^ 3 + 81 y ^ 4 `
माना ` y = x + x ^ 2 ` तब
` (1+ x + x ^ 2 ) ^ 3 = ( 1 + y ) ^ 3 = ""^3C _ 0 + ""^3C _ 1 y + ""^3 C _ 2 y ^ 2 + ""^ 3C _ 3 y ^ 3 `
` = 1 + 3y + 3y^ 2 + y ^ 3 `
` = 1 + 3 ( x + x ^ 2 ) + 3 ( x + x^ 2 ) ^ 2 + ( x + x ^ 2 ) ^ 3 `
` = 1 + 3 ( x + x ^ 2 ) + 3 ( x ^ 2 + 2x ^ 3 + x ^ 4 ) + {""^ 3 C _ 0 x ^3 ( x ^ 2 ) ^0 + ""^ 3 C _ 1 x ^ ( 3 - 1 ) ( x ^2 ) ^ ( 1 ) + ""^ 3 C _ 2 x ^( 3 - 2 ) ( x ^ 2 ) ^ 2 + ""^ 3 C _3 x ^0 ( x ^ 2 ) ^ 3 } `
` = 1 + 3 ( x + x^ 2) + 3 ( x^ 2 + 2x ^ 3 + x ^ 4 ) + ( x ^ 3 + 3x^ 4 + 3x ^ 5 + x ^ 6 ) `
` = x ^ 6 + 3x ^ 5 + 6x ^ 4 + 7 x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 3x + 1 `
(iii) माना ` y = - x + x ^ 2 ` , तब
` ( 1 - x + x^ 2 ) ^ 4= ( 1 + y) ^ 4 `
` = ""^4 C _ 0 + ""^ 4 C _ 1 y ^ 2 + ""^ 4 C _ 3 y ^ 3 + ""^4C _ 4 y ^ 4 `
` = 1 + 4 y + 6y ^ 2 + 4 y ^ 3 + y ^ 4 `
` = 1 + 4 ( - x + x ^ 2 ) + 6 ( - x + x ^ 2 ) ^ 2 + 4 ( - x + x ^ 2) ^3 + ( - x + x^ 2 )^ 4 `
`= 1 + 4x + 4x ^ 2 + 6 x ^ 2 ( 1 - 2x + x ^ 2 ) - 4x ^ 3 ( 1 - 3x + 3x^ 2 - x ^ 3 ) + x ^ 4 ( 1 - 4x + 6x ^ 2 - 4x ^ 3 + x ^ 4 ) `
` = 1 - 4x + 4x ^ 2 + 6x ^ 2 - 12 x ^3 + 6 x ^ 4 - 4 x ^ 3 + 12 x ^ 4 - 12 x ^ 5 + 4 x ^ 6 + x ^ 4 - 4x ^ 5 + 6 x ^ 6 - 4x ^ 7 + x ^ 8 `
` = 1 - 4x + 10 x ^ 2 - 16 x ^ 3 + 19 x ^ 4 - 16 x ^ 5 + 10 x ^ 6 - 4 x ^ 7 + x ^ 8 `
(iv) द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर,
` ( x + (1 ) /(y))^(11) = ""^(11) C _ 0 x ^( 11) ((1 ) /( y ))^(0) + ""^(11)C_1 x ^(10) ((1)/(y)) + ""^(11)C_2 x ^(9) ((1 )/( y ))^ 2 + ""^11 C _ 3 x ^ 8 (( 1 )/( y))^ 3 + ""^(11)C _ 4 x ^ 7 ((1 )/(y) ) ^4 + ""^11C _ 5 x ^ 6 ((1 )/( y)) ^ 5 + ""^11C _ 6 x ^ 5 (( 1 ) /( y))^ 6 + ""^ (11)C _ 6 x ^4 (( 1 ) /(y))^ 7 + ""^(11) C _ 8 x ^3 ((1 ) /( y)) ^(8) + ""^(11) C _ 9 x ^ 2 (( 1 )/(y))^9 + ""^(11)C _ (10) x ((1 ) /( y) ) ^(10) + ""^(11)C _(11) ((1)/(y))^(11)`
` = x ^(11) + 11 ( x^(10))/( y ) + 55 (x^9)/( y ^ 2 ) + 165 (x ^8) /( y ^ 3) + 330 ( x^7 ) /( y ^ 4 ) + 462 (x^6) /(y^5) + 462 (x ^ 5 ) /( y ^ 6) + 330 ( x ^ 4 ) /( y ^7) + 165 ( x ^ 3)/(y^8) + 55 (x ^ 2)/ ( y^9) + 11 ( x )/( y^(10)) + (1 ) /( y ^( 11 )) `
(v ) ` ( x ^ 2 - ( 2 ) /( x )) ^ 7 = ""^7 C _ 0 ( x ^ 2 ) ^ 7 (- ( 2 ) /( x ) ) ^0 + ""^7 C _ 1 ( x ^ 2 ) ^ 6 ( - (2 ) / (x)) + ""^7 C _ 2 ( x ^ 2 ) ^ 5 ( - ( 2 ) /( x ) ) ^ 2 + ""^ 7 C _ 3 ( x ^ 2 ) ^ 4 ( - (2 ) / ( x ) ) ^ 3 + ""^7 C _ 4 ( x ^ 2 ) ^3 ( - ( 2 ) /( x) ) ^ 4 + ""^7C _ 5 ( x ^ 2) ^ 2 ( - (2 ) /( x ) ) ^ 5 + ""^7C _ 6 ( x ^ 2 ) ^(1) ( - ( 2 ) /( x ) ) ^(6 ) + ""^7 C _ 7 ( - ( 2 ) /( x ) ) ^(7 ) `
` = x ^( 14 ) - 7 x ^( 12 ) (2 ) /(x ) + 21 x ^(10) ( 4 ) /( x ^ 2 ) - 35 x ^8 ( 8 ) /( x ^ 3 ) + 35 x ^ 6 (16 ) / ( x ^ 4 ) - 21 x ^ 4 ( 32 ) /(x ^ 5 ) + 7x ^ 2 (64 ) / ( x ^ 6 ) - (128 ) /( x ^( 7 ) ) `
` = x ^( 14 ) - 14 x ^( 11) + 84 x ^( 8) - 280 x ^ 5 + 560 x ^ 2 - 672 x ^( -1 ) + 448 x ^( - 4) - 128 x ^( - 7 ) `
(vi) माना ` x - x^ 2 = y `
अब ` ( 1 + x - x ^ 2 ) ^ 4 = ( 1 + y ) ^ 4 = ""^4 C _ 0 + ""^ 4 C _ 1 y + ""^ 4 C _ 2 y ^ 2 + ""^ 4 C _ 3 y ^ 3 + ""^ 4 C _ 4 y ^ 4 `
` = 1 + 4 y + 6y ^ 2 + 6 y ^ 3 + y ^ 4 `
` = 1 + 4 ( x - x ^ 2 ) + 6 ( x - x ^ 2 ) ^ 2 + 4 ( x - x ^ 2 ) ^ 3 + ( x - x ^ 2 ) ^ 4 `
` = 1 + 4 ( x - x ^ 2 ) + 6 ( x^ 2 - 2x ^ 3 + x ^ 4 ) + 4 ( x ^ 3 - 3x ^ 4 + 3x ^ 5 - x ^ 6 ) + x ^ 4 ( 1 - x ) ^ 4 `
` = 1 + 4 ( x - x ^ 2 ) + 6 ( x^ 2 - 2x^ 3 + x ^ 4 ) + 4 ( x ^ 3 - 3x^ 4 + 3x ^ 5 - x ^ 6 ) + x ^ 4 ( 1 - 4 x + 6x ^ 2 - 4x ^ 3 + x ^ 4 ) `
` = 1 + 4x + 2x ^ 2 - 8 x ^3 - 5x ^ 4 + 8x ^ 5 + 2x ^ 6 - 4x ^7 + x ^8 `
Discussion
20.

यदि `(a + b)^(n)` के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमश: 729, 7290 तथा 30375 हो, तो a, b तथा n के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» a = 3, b = 5, n = 6
Discussion
21.

यदि `(a+b)^(n)` के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729 , 7290 तथा 30375 हों तो a , b , और n ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - a = 3; b = 5; n = 6
Discussion
22.

`(x + 1)^(6) + (x -1)^(6)` का मान ज्ञात कीजिए । इसका प्रयोग करके या अन्यथा `(sqrt(2)+1)^(6) + (sqrt(2)-1)^(6)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `2(x^(6)+15x^(4)+15x^(2)+1),198`
Discussion
23.

`(a + b)^(4) - (a - b)^(4)` का विस्तार कीजिए । इसका प्रयोग करके `(sqrt(3)+sqrt(2))^(4) - (sqrt(3)-sqrt(2))^(4)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `8(a^(3)b+ab^(3));40sqrt(6)`
Discussion
24.

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है `(1.1)^(10000) ` या 1000.

Answer» Correct Answer - `(1.1)^(10000) gt 1000`
Discussion
25.

द्विपद प्रमेय की सहायता से `((2)/(x)-(x)/(2))^(5)` का प्रसार कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `(32)/(x^(5))-(40)/(x^(3))+(20)/(x)-5x+(5)/(8)x^(3)-(x^(5))/(32)`
Discussion
26.

संख्या ` 9^ ( 200) ` के अंतिम दो अंक (दहाई - इकाई ) है -A. 19B. 21C. `01`D. 41

Answer» Correct Answer - C
Discussion
27.

निम्नलिखित व्यंजको के प्रसार लिखो : `((x)/(3) + (1)/(x))^(5)`

Answer» Correct Answer - `(x^(5))/(243)+(5x^(5))/(81)+(10)/(27)x+(10)/(9x)+(5)/(3x^(3))+(1)/(x^(5))`
Discussion
28.

निम्नलिखित व्यंजको के प्रसार लिखो : `(2x - 3)^(6)`

Answer» Correct Answer - `64x^(6)-576x^(5) +2160x^(4)-4320x^(3)+4860x^(2)-2916x+729`
Discussion
29.

संख्या ` 7 ^ ( 289 ) ` के इकाई स्थान का अंक है -A. 1B. 3C. 9D. 7

Answer» Correct Answer - D
Discussion
30.

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए : `(x^(2)-yx)^(12), x ne 0`

Answer» Correct Answer - `(-1)^(r)""^(12)C_(r).x^(24-r).y^(r)`
Discussion
31.

गुणांक ज्ञात कीजिए : `(x+3)^(8)` में `x^(5)` का

Answer» Correct Answer - 1512
Discussion
32.

`(a-2b)^(12)` में `a^(5)b^(7)` का

Answer» Correct Answer - -101376
Discussion
33.

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए : `(x^(2)-y)^(6)`

Answer» Correct Answer - `(-1)^(r)""^(6)C_(r).x^(12-2r).y^(r)`
Discussion
34.

सिद्ध कीजिये कि - ` ""^ (15 ) C _ 1 + ""^ ( 15 ) C _ 3 + ... + ""^ ( 15 ) C _ ( 15 ) = 16384 `

Answer» बायाँ पक्ष = `""^ (15 ) C _ 1 +""^ (15) C _ 3 + ... + ""^ ( 15 ) C _ (15) = 2 ^ ( 15 - 1 ) = 2 ^ ( 14 ) = 16384 ` = दायाँ पक्ष
Discussion
35.

`C _ 1 + C _ 2 + C _ 3 + … + C _ n = 1 + 2 + 2 ^ 2 + … + 2 ^ (n - 1 ) `

Answer» बायाँ पक्ष = `C _ 1 + C _ 2 + C _ 3 + ... + C _ (n ) = (C _ 0 + C _ 1 + C _ 2 + ... + C _ n ) - C_ 0 `
` = ( C _0 + C _ 1 + C _ 2 + C _ 3 + ... + C _ n ) - 1 `
` = 2 ^ n - 1 `
दायाँ पक्ष = ` 1 + 2 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^ ( n - 1 ) = ( 1 * ( 2^ n - 1 ) ) /( 2 -1) = 2^n - 1 " " ` (गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग लगाने पर )
Discussion
36.

`(1 + x^(2))^(4)(1 + x^(3))^(7)(1 + x^(4))^(12)` के विस्तार में `x^(11)` का गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» `because (1 + x)^(n)` में `x^(n)` का गुणांक `.^(n)C_(r)` है |
इस प्रकार `(1 + x^(2))^(4) (1 + x^(3))^(7) (1 + x^(4))^(12)` के विस्तार में `x^(0) x^(3) x^(8), x^(2) x^(9) x^(0), x^(4) x^(3) x^(4), x^(8) x^(3) x^(0)` अर्थात `x^(11)` का गुणांक
`=.^(4)C_(0) xx .^(7)C_(1)xx .^(12)C_(2)+.^(4)C_(1)xx.^(7)C_(3)xx.^(12)C_(0)+.^(4)C_(2)xx.^(7)C^(1)xx.^(12)C_(1)+.^(4)C_(4)xx .^(7)C_(1)xx .^(12)C_(0)`
`=1xx(7!)/(6!)xx(12!)/(2!.10!)+(4!)/(3!)xx(7!)/(3!.4!)xx1+(4!)/(2!.2!)xx(7!)/(6!)xx(12!)/(11!)+1xx(7!)/(6!)xx 1`
`=7xx(12xx11)/(2)+(4xx7xx6xx5)/(3xx2)+(4xx3)/(2)xx7xx12+7`
`=462 + 140 + 504 + 7`
= 1113.
Discussion
37.

`(3x - (1)/(x))^(6)` के विस्तार में `x^(2)` का गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Answer» प्रसार का (r + 1) वां पद `= .^(6)C_(r)(3x)^(6-r).(-(1)/(x))^(r)`
`=.^(6)C_(r)(3)^(6-r).x^(6-r).(-1)^(r)x^(-r)`
`=(-1)^(r).^(6)C_(r)(3)^(6-r)x^(6-2r)`
उक्त पद में `x^(2)` आयेगा,
यदि x का घातांक = 2
अर्थात 6 - 2r = 2
या 2r = 4 या r = 2
`therefore` प्रसार में `x^(2)` का गुणांक `=(-1)^(2).^(6)C_(2)(3)^(6-2)`
`= .^(6)C_(2).3^(4)`
`= 15 xx 81 = 1215`.
Discussion
38.

`(a + 2x^(3))^(16)` का 14 वां पद ज्ञात कीजिए ।

Answer» प्रसार का 14 वां पद = (13 + 1) वां पद
`=.^(16)C_(13).a^(16-13)(2x^(3))^(13)`
`= .^(16)C_(3)a^(3).2^(13)x(39)," "[because .^(n)C_(r) = .^(n)C_(n-r)]`
`= 560.a^(3).2^(13).x^(39)`.
Discussion
39.

` ( x ^ 3 - ( 3 ) /( x ^ 2 )) ^ ( 15) ` के विस्तार में कौन - सा पद x से रहित है ?

Answer» Correct Answer - 10 वां
Discussion
40.

`(3x-(2)/(x^(2)))^(15)` के विस्तार में कौन-सा पद x से स्वतंत्र है ?

Answer» `(3x-(2)/x^(2))^(15)` में प्रसार का `T_(r + 1)` वां पद
`=.^(15)C_(r)(-(2)/(x^(2)))^(r).(3x)^(15-r)`
`=.^(15)C_(r)(-2)^(r).x^(-2r).(3)^(15-r).x^(15-r)`
`=.^(15)C_(r)(-2)^(r).(3)^(15-r).x^(15-3r)`
यह पद x से स्वतंत्र तब होगा, जब x की घात का मान शून्य होगा |
`therefore` अत: 5 + 1 = 6 वां पद x से स्वतंत्र होगा ।
Discussion
41.

`(x-(1)/(x))^(12)` के विस्तार में x से स्वतंत्र पद का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `(x-(1)/(x))^(12)` में प्रसार का `T_(r + 1)` वां पद
`=.^(12)C_(r)(-(1)/(x))^(r).(x)^(12-r)`
`=.^(12)C_(r)(-1)^(r).x^(-r).x^(12-r)`
`=.^(12)C_(r)(-1)^(r).(x)^(12-2r)`
यह पद x से स्वतंत्र तब होगा, जब x का मान शून्य होगा ।
12 - 2r = 0
r = 6
अत: 6 + 1 = 7 वां पद x से स्वतंत्र होगा |
`T_(7) = .^(12)C_(6)(-1)^(6)`
`=.^(12)C_(6)`
अत: स्वतंत्र पद का मान `.^(12)C_(6)` है ।
Discussion
42.

`(3x^(2)-(2)/(x^(3)))^(20)` के विस्तार में कौन-सा पद अचर है ?

Answer» `(3x^(2) - (2)/(x^(3)))^(20)` यहाँ `x = 3x^(2), a = -(2)/(x^(3)), n = 20`
व्यापक पद, `T_(r+1) = .^(n)C_(r)a^(r)x^(n-r)`
`= .^(20)C_(r)(-(2)/(x^(3)))^(r).(3x^(2))^(20-r)`
`= .^(20)C_(r)(-2)^(r)x^(-3r).(3)^(20-r).x^(40-2r)`
`= .^(20)C_(r)(-2)^(r)(3)^(20-r).x^(40-5r)`
अचर पर के लिए 40 - 5r = 0 या r = 8
अत: 8 + 1 = 9 वां पद अचर है ।
Discussion
43.

`(2x^(4)-(1)/(3x^(7)))^(11)` के विस्तार में कौन-सा पद x से स्वतंत्र है ?

Answer» मानलो की `T_(r+1)` वां पद x से स्वतंत्र है, तब
`T_(r+1)=.^(11)C_(r).(2x^(4))^(11-r)(-(1)/(3x^(7)))^(r)`
`=.^(11)C_(r).(2)^(11-r)(-1)^(r).(3)^(-r).(x)^(44-4r).(x)^(-7r)`
`=.^(11)C_(r).(2)^(11-r)(-1)^(r).(3)^(-r).(x)^(44-11r)`
`because` यह पद x से स्वतंत्र है, अर्थात इसमें x की घात शून्य है ।
`therefore 44 - 11 r = 0`
`11r = 44 rArr r = 4`
इसलिए 5 वां पद x से स्वतंत्र हुआ, तब
`=.^(11)C_(5).(2)^(11-5)(-1)^(5).(3)^(-5)`
`= 462 xx (2)^(6)xx (-1)xx(1)/(243) = -(9856)/(81)`
Discussion
44.

`(2x^(4)-(1)/(3x^(7)))^(11)` के प्रसार में अचर पद ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना विस्तार के (r + 1) वे पद में x नहीं आता है, अत: विस्तार का (r + 1) वां पद
`=.^(11)C_(r)(2x^(4))^(11-r)(-(1)/(3x^(7)))^(r)`
`=.^(11)C_(r)(-1)^(r).2^(11-r).x^(44-4r).x^(-7r)((1)/(3))^(r)`
`=.^(11)C_(r)(-1)^(r).2^(11-r).(x^(44-11r))/(3^(r))`
`because` (r + 1) वे पद में x नहीं आता है, अत:
44 - 11r = 0
11r = 44 या r = 4
`T_(5) = .^(11)C_(4)(2x^(4))^(11-4)(-(1)/(3x^(7)))^(4)`
`= (11!)/(4!7!).2^(7).x^(28-28).(-(1)/(3))^(4) = (14080)/(27)`
Discussion
45.

`(sqrt(x/3)+(3)/(2x^(2)))^(10)` में विस्तार में `x` से स्वतन्त्र पद हैA. `3//2`B. `5//4`C. `5//2`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
माना (r+1)वाँ पद x से स्वतन्त्र है ।
तब, `T_(r+1)=.^(10)C_(r)(sqrt((x)/(3)))^(10-r)((3)/(2x^(2)))^(r)`
`=.^(10)C_(r)((x)/(3))^(5-1/2r)((3)/(2))^(r).x^(-2r)`
`=.^(10)C_(r)((1)/(3))^(5-r/2)(3/2)^(r)x^((5-(5r)/(2))`
यह x पद से स्वतन्त्र है ।
`T_(r+1)=.^(10)C_(r)(sqrt((x)/(3)))^(10-r)((3)/(2x^(2)))^(r)`
`=.^(10)C_(r)((x)/(3))^(5-1/2r)((3)/(2))^(r).x^(-2r)`
`=.^(10)C_(r)((1)/(3))^(5-r/2)(3/2)^(r)x^((5-(5r)/(2))`
अतः x से स्वतन्त्र पद,
`T_(3)=T_(2+1)=.^(10)C_(2)(1/3)^(4)(3/2)^(2)`
`=(10xx9)/(2xx1)xx1/3^(4)xx(3^(2))/(2^(2))=5/4`
Discussion
46.

यदि `x=(a+1)^(6)` तथा `y=(a-1)^(6)` x-y में पदों की संख्या होगीA. 1B. 2C. 3D. 4

Answer» Correct Answer - C
`x-y` या `(a+1)^(6)-(a-1)^(6)` में पदों की संख्या `=6/2=3`
Discussion
47.

श्रेणी `1+3/4 +(3.5)/(4.8)+(3.5.7)/(4.8.12)+...` का योग हैA. `sqrt((8)/(21))`B. `(1)/(sqrt(8))`C. `sqrt(8)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
दी गई श्रेणी की तुलना श्रेणी,
`1+nx+(n(n-1)x^(2))/(2)+...`
से करने पर, `nx=3/4` ...(i)
तथा `(n(n-1)x^(2))/(2)=(15)/(32)` ...(ii)
समी (ii) को समी (i) के वर्ग से भाग देने पर,
`((n(n-1))/(2)x^(2))/(n^(2)x^(2))=(15//32)/(9//16)`
`rArr(n-1)/(2n)=(15xx16)/(9xx32)=5/7`
`rArr 6n-n=10n`
`rArr 4n=-6rArrn=-3//2`
समी (i) से, `-3/2x=3/4rArr x=-1/2`
अतः श्रेणी का योग
`=(1-1/2)^(-3//2)=(1/2)^(-3//2)`
`=(2)^(3//2)=sqrt(8)`
Discussion
48.

`(1)/(n!)+(1)/(2!(n-2)!)+(1)/(4!(n-4)!)+...` का मान हैA. `(2^(n-2))/((n-1)!)`B. `(2^(n-1))/(n!)`C. `(2^(n))/(n!)`D. `(2^(n))/((n+1)!)`

Answer» Correct Answer - B
व्यंजक को n! से गुना व भाग करने पर हमें प्राप्त है
`(1)/(n!)[1+(n!)/(2!(n-2)!)+(n!)/(4!(n-4)!)+...]`
`=(1)/(n!)[C_(0)+C_(2)+C_(4)+...]=(2^(n-1))/(n!)`
Discussion
49.

`(1-x)^(-4)` में विस्तार में (r+1)वाँ पद हैA. `(x^(r))/(r!)`B. `((r+1)(r+2)(r+3))/(6) x^(r)`C. `((r+2)(r+3))/(2)x^(r)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
`T_(r+1)`
`=([(-4)(-4-1)(-4-2)...(-4-r+3)(-4-r+2).(-4-r+1)])/(r!)(-x)^(r)`
`=(4.5.6.7...r(r+1)(r+2)(r+3))/(r!).x^(r)`
`=(4.5.6.7...r(r+1)(r+2)(r+3))/(1.2.3...(r-1)r).x^(r)`
`=((r+1)(r+2)(r+3))/(1.2.3).x^(r)`
`=((r+1)(r+2)(r+3))/(6).x^(r)`
Discussion
50.

`Sigma_(r=0)^(n) C(n,r)` किसके तुल्य है ?A. `2^(n)-1`B. n+2C. `n!`D. `2^(n)`

Answer» Correct Answer - D
दिया है, `overset(n)underset(r=0)Sigma C(n,r)`
`=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)`
`=.^(n)C_(0)+.^(n)C_(1)+.^(n)C_(2)+...+ .^(n)C_(n)`
`=(1+1)^(n)=2^(n)`
Discussion