InterviewSolution
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| 51. |
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (2, -3) और नियता `x+5=0` है। |
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Answer» माना नाभि `S(2, -3)`, नियता `x+5=0` तथा `P(x, y)` जो परवलय पर स्थित है। परवलय की परिभाषा से, `" "SP^(2)-PM^(2)` `(x-2)^(2)+(y+3)^(2)=((x+5)/(sqrt(1)))` `x^(2)-4x+4+y^(2)+6y+9=x^(2)+10x+25` `y^(2)+6y=14x+12.` |
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| 52. |
बिन्दुओं (0, 3) तथा (5, 2) से होकर जाने वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x-अक्ष पर है। |
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Answer» माना की वृत्त का अभीष्ट समीकरण है : `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0" "…(i)` इस वृत्त का केन्द्र (-g, -f) है। चूँकि अभीष्ट वृत्त का केन्द्र x-अक्ष पर है, अत: केन्द्र का y-निर्देशांक शून्य होगा, अर्थात `-f=0" या "f=0.` समीकरण (i) में f का मान रखने पर, `x^(2)+y^(2)+2gx+c=0" "...(ii)` चूँकि यह वृत्त बिन्दुओं (0, 3) तथा (5, 2) से होकर जाता है, तब `0+9+0+c=0` `implies" "c=-9` पुन: `" "25+4+2gxx5-9=0` `10g+20=0` `10g=-20` `g=-2` g तथा c के मानों को समीकरण (ii) में रखने पर, `x^(2)+y^(2)-4x-9=0.` यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है। |
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| 53. |
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (-3, 0) और नियता `x+5=0` है। |
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Answer» माना नाभि `S(-3, 0)`, नियता `x+5=0` तथा `P(x, y)` जो परवलय पर स्थित है। अत: `" "SP^(2)=PM^(2)` `(x+3)^(2)+(y-0)^(2)=(x+5)/(sqrt((1)^(2)+(0)^(2)))^(2)` `x^(2)+9+6x+y^(2)=((x+5)/(1))^(2)` `x^(2)+y^(2)+6x+9=x^(2)+10x+25` `y^(2)-4x-16=0.` |
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| 54. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (1, -2) तथा (-2, 2) से होकर जाता है और जिसका केन्द्र सरल रेखा `8x-4y+9=0` पर स्थित है। |
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Answer» माना वृत्त का व्यापक समीकरण `x^(2)+y^(2)+2gx+2fy+c=0` तब (1, -2) से होकर जाता है। `1+4+2g-4f+c=0` या `" "2g-4f+c+5=0" "…(1)` जब (-2, 2) से होकर जाता है, तब `4+4-4g+4f+c=0` `-4g+4f+c+8=0" "...(2)` समीकरण (1) में से समीकरण (2) के घटाने पर `6g-8f-3=0" "...(3)` केन्द्र (-g, -f) सरल रेखा पर स्थित है, तब `-8g+4f+9=0" "...(4)` समीकरण (2), (3) व (4) को हल करने पर `g=(3)/(2),f=(3)/(4),c=-5` तब `" "x^(2)+y^(2)+3x+(3)/(2)y-5=0` या `" "2x^(2)+2y^(2)+6x+3y-10=0.` |
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| 55. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके लघु अक्ष की लम्बाई, नाभियों के बिच की दूरी के समान हो तथा नाभिलम्ब 10 इकाई हों | |
| Answer» Correct Answer - 4 | |
| 56. |
A तथा B दो स्थिर बिन्दु है, तथा रेखा AB किसी चर बिन्दु P पर यदि समकोण अंतरित करती है, तो सिद्ध कीजिए कि चर बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है। |
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Answer» मान लीजिए कि दोनों स्थिर बिन्दु x-अक्ष पर हैं तथा इनके निर्देशांक `A(a,0)" एवं "B(-a,0)" हैं।"` इस प्रकार `AB=2a` AB के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक (0, 0) हैं। `because" AB द्वारा P (x, y) पर अन्तरित कोण "90^(@)" है।"` समकोण त्रिभुज APB में, AB त्रिभुज का कर्ण है। `implies" "OP=OA=OB=a` `implies" "OP^(2)=a^(2)` `implies" "(x-0)^(2)+(y-0)^(2)=a^(2)` `implies" "x^(2)+y^(2)=a^(2)` फलत: P(x, y) का बिन्दुपथ एक वृत्त है। |
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| 57. |
निम्नलिखित प्रतिबन्धो को सन्तुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए : (ii) शीर्ष `(0,+-5),` नाभियाँ `(0,+-8)` |
| Answer» `(y^(2))/(25)-(x^(2))/(39)=1` | |
| 58. |
निम्नलिखित प्रतिबन्धो को सन्तुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए : (i) शीर्ष `(+-2,0)`, नाभियाँ `(+-3,0)` |
| Answer» `(x^(2))/(4)-(y^(2))/(5)=1` | |
| 59. |
दीर्घाक्ष और लघु अक्ष को x और y के अक्ष मानकर उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसमे जिसकी नाभियाँ `(+-4,0)` और उत्केन्द्रता `(1)/(3)` है। |
| Answer» `8x^(2)+9y^(2)=1152` | |
| 60. |
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नाभि (1, 1), उत्केन्द्रता `sqrt(3)` तथा नियता `2x+y+1=0` है | |
| Answer» `7x^(2)+12xy-2y^(2)+22+16y-7=0` | |
| 61. |
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नाभिलम्ब जीवा 10 है और उत्केन्द्रता `(3)/(sqrt(5))` है | |
| Answer» `16x^(2)-20y^(2)=625` | |
| 62. |
दीर्घवृत्त `(x^(2))/(25)+(y^(2))/(9)=1` के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ एवं लघु अक्ष की लम्बाइयाँ, उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दीर्घवृत्त का समीकरण, `(x^(2))/(25)+(y^(2))/(9)=1` इसकी तुलना `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` से करने पर, `a^(2)=25" या "a=5" तथा "b^(2)=9" या "b=3" यहाँ "agtb.` `b^(2)=a^(2)(1-e^(2))` `9=25(1-e^(2))` `(9)/(25)=1-e^(2)` `e^(2)=1-(9)/(25)=(16)/(25)` उत्केन्द्रता, `e=(4)/(5)`. अत: नाभियों के निर्देशांक `=(+-"ae",0)=(+-5xx(4)/(5),0)` `=(+-4,0).` शीर्षों के निर्देशांक `=(+-a,0)=(+-5,0).` दीर्घ अक्ष की लम्बाई `=2a=2xx5=10.` लघु अक्ष की लम्बाई `=2b=2xx3=6.` नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई `=(2b^(2))/(a)=(2xx9)/(5)=(18)/(5).` |
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| 63. |
दीर्घाक्ष और लघु अक्ष को x और y के अक्ष मानकर उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसमे जिसकी नाभियों के बिच की दूरी = 8 और नियताओं के बिच की दूरी = 18 हो । |
| Answer» `5x^(2)+9y^(2)=180` | |
| 64. |
वृत्त `x^(2)+y^(2)+8x-6y-5=0` द्वारा अक्षों पर अन्त: खण्ड ज्ञात कीजिए। |
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Answer» वृत्त का समीकरण, `x^(2)+y^(2)+8x-6y-5=0` की तुलना वृत्त के व्यापक समीकरण `x^(2)+y^(2)+2gx+2gy+c=0` से करने पर, `2g=8impliesg=4` `2f=-6impliesf=-3" तथा "c=-5` अब `" "`x-अक्ष पर अन्त: खण्ड `2sqrt(g^(2)-c)` `=2sqrt((4)^(2)+5)` `=2sqrt(16+5)` `=2sqrt(21).` तथा y-अक्ष पर अन्त: खण्ड `=2sqrt(f^(2)-c)` `=2sqrt((-3)^(2)+5)` `=2sqrt(9+5)` `=2sqrt(14).` |
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| 65. |
अतिपरवलय `9x^(2)-16y^(2)=144` के नियताओं के समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» अतिपरवलय `9x^(2)-16y^(2)=144` मानक रूप में `(x^(2))/(16)+(y^(2))/(9)=1` तब अतिपरवलय `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` की तुलना से, `a^(2)=16" या "a=4` तथा `b^(2)=9" या "b=3` `b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` `9=16(e^(2)-1)` `e^(2)-1=(9)/(16)` `e^(2)=1+(9)/(16)=(25)/(16)` `e=(5)/(4)` नियताओं के समीकरण `x=+-(a)/(e)` या `x=+-(4)/((5)/(4))=+-(16)/(5)` अत: नियताओं के समीकरण `x=+-(16)/(5).` |
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| 66. |
अतिपरवलय `4x^(2)-16y^(2)=9` की उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए | |
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Answer» अतिपरवलय का समीकरण, `4x^(2)-16y^(2)=9` `(4x^(2))/(9)-(16y^(2))/(9)=1` या `" "(x^(2))/((9)/(4))-(y^(2))/((9)/(16))=1` की तुलना `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` से करने पर, `a^(2)=(9)/(4)" तथा "b^(2)=(9)/(16)` अब उत्केन्द्रता, `b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` `(9)/(16)=(9)/(4)(e^(2)-1)` या `e^(2)-1=(9)/(16)xx(4)/(9)=(1)/(4)` `e^(2)=1+(1)/(4)=(5)/(4)` `e=(sqrt(5))/(2)`. |
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| 67. |
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नियता `x+2y=1`, नाभि (2, 1) और उत्केन्द्रता 2 है | |
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Answer» माना अतिपरवलय पर कोई बिन्दु `P(x,y)` है | दिया है, नाभि S के निर्देशांक (2, 1) तथा नियता का समीकरण `x+2y-1=0` तथा उत्केन्द्रता `e=2`. अतिपरवलय की परिभाषा से, `PS=e.PM` `:." "sqrt((x-2)^(2)+(y-1)^(2))=2.(x+2y-1)/(sqrt(5))` या `5[(x-2)^(2)+(y-1)^(2)]=4[x+2y-1]^(2)` या `5[x^(2)-4x+4+y^(2)-2y+1]=4[x^(2)+4y^(2)+1+4xy-2x-4y]` या `5x^(2)+5y^(2)-20x-10y+25=4x^(2)+16y^(2)+4+16xy-8x-16y` या `x^(2)-11y^(2)-16xy-12x+6y+21=0.` |
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| 68. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके दीर्घ अक्ष की लम्बाई 20 है तथा नाभियाँ `(0,+-5)` है। |
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Answer» नाभियाँ `=(0,+-5)` जो y-अक्ष के अनुदिश है। `:." "be=5` और दीर्घ-अक्ष की लम्बाई `-2b` अर्थात `" "2b=20` या `" "b=10` पुन: `" "be=5` या `" "10.e=5" या "e=(5)/(10)=(1)/(2)` अब `" "a^(2)=b^(2)(1-e^(2))` `=100(1-(1)/(4))=100xx(3)/(4)` `a^(2)=75` अत: दीर्घवृत्त का समीकरण, `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` `(x^(2))/(75)+(y^(2))/(100)=1.` |
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| 69. |
वक्र `(x^(2))/(2)+(y^(2))/(3)=1` की उत्केन्द्रता का मान बताइए | |
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Answer» वक्र `(x^(2))/(2)+(y^(2))/(3)=1` तथा `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` की तुलना से, `a^(2)=2,b^(2)=-3` तब `b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` से, `-3=2(e^(2)-1)` `-(3)/(2)=e^(2)-1` या `e^(2)=1-(3)/(2)=(-1)/(2)` या `e=sqrt(-(1)/(2))` अत: उत्केन्द्रता `=sqrt(-(1)/(2)).` |
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| 70. |
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ `(+-3,0)` है तथा उत्केन्द्रता `(3)/(2)` है | |
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Answer» अतिपरवलय की नाभियाँ `=(+-ae,0)=(+-3,0)` तब, `ae=3" "…(1)` तथा उत्केन्द्रता `(e)=(3)/(2)" "...(2)` समीकरण (1) व (2) से, `axx(3)/(2)=3` `a=2` सूत्र `b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` `=4((9)/(4)-1)=5` `b^(2)=5` अतिपरवलय का समीकरण `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` `(x^(2))/(4)-(y^(2))/(5)=1` या `5x^(2)-4y^(2)=20.` |
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| 71. |
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी दीर्घ-अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है और (4, 3) तथा (-1, 4) दीर्घवृत्त पर स्थित है। |
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Answer» दिय गए बिन्दु है : (4, 3) और (-1, 4), इन दोनों बिन्दुओं को क्रमश: दीर्घवृत्त के मानक रूप वाले समीकरण में रखने पर, `(16)/(a^(2))+(9)/(b^(2))=1" "…(i)` तथा `(1)/(a^(2))+(16)/(b^(2))=1" "...(ii)` समीकरण (ii) में 16 का गुणा करके समीकरण (i) से घटाने पर, `(247)/(b^(2))=15" या "b^(2)=(247)/(15)` `b^(2)" का मान समीकरण (i) में रखने पर, "` `(16)/(a^(2))+(9xx15)/(247)=1` `(16)/(a^(2))=1-(135)/(247)=(112)/(247)` `a^(2)=(247xx16)/(112)` `a^(2)=(247)/(7).` अत: दीर्घवृत्त का समीकरण, `(x^(2))/(247)+(y^(2))/(247)=1` या `" "7x^(2)+15y^(2)=247.` |
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| 72. |
एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों कि दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है | और झंडा चौकियों के बीच कि दूरी 8 मीटर है | व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `(x^(2))/(25)+(y^(2))/(9)=1` | |
| 73. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो y-अक्ष को मुलबिन्दु से + 4 कि दूरी स्पर्श करता है और x-अक्ष से अन्त:खण्ड 6 काटता है। |
| Answer» `x^(2)+y^(2)-ax-by=0` | |
| 74. |
एक 12 सेमि लंबी छड़ इस प्रकार चलती है की इसके सिरे निर्देशांक्षों को स्पर्श करते हैं | छड़ के बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के संपर्क वाले सिरे से 3 सेमि दूर है | |
| Answer» `(x^(2))/(81)+(y^(2))/(9)=1` | |
| 75. |
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अक्ष x -अक्ष के समान्तर है तथा जो बिन्दुओ (0,0),(1,1) तथा (2,3) से होकर जाता है | |
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Answer» प्रश्नानुसार , परवलय का अक्ष x -अक्ष के समान्तर है | इसलिय इसका समीकरण `(y - k)^(2) = 4a(x-h)" ".....(i)` माना `O = (0,0)" "A=(1,1)," "B= (2,3)` प्रश्नानुसार , प्रश्नानुसार परवलय (i) उपरोक्त बिन्दुऔ से होकर जाता है , इसलिए `K^(2) = - 4ah" ".....(ii)` `" "(1-k)^(2) = 4a(1-h)" ".....(iii)` व `" "(3-k)^(2) = 4a(2-h)" ".....(iv)` समीकरण (ii),(iii) व (iv) को हल करने पर `h = (49)/(24) , k = (7)/(2)` तथा `a = (-3)/(2)` समीकरण (i) में उपरोक्त सभी मान रखने पर , परवलय का अभीष्ट समीकरण निम्न होगा - `(y - (7)/(2))^(2) = - 6(x - (49)/(24))` |
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| 76. |
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2,2) हो तथा बिंदु (4,5) से जाता है |
| Answer» Correct Answer - `x^2+y^2-4x-4y=5` | |
| 77. |
वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए : केंद्र (0,2) और त्रिज्या 2 इकाई |
| Answer» Correct Answer - `x^2+y^2-4y=0` | |
| 78. |
नाभि के निर्देशांक ,परवलय का अक्ष ,नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: `y^2 =12 x ` |
| Answer» Correct Answer - F(3,0), अक्ष -x -अक्ष-,नियता x = 3 ,नाभिलंब जीवा की लंबाई =12 | |
| 79. |
(0,0) से होकर जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर a और b अतः खण्ड बनता है |
| Answer» Correct Answer - `x^2+y^2-ax-by=0` | |
| 80. |
दिए गए प्रतिबंधों की संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए शीर्ष `(0,pm 5 )` नाभियाँ `(0, pm 8 )` |
| Answer» Correct Answer - `y^2/25-x^2/39=1` | |
| 81. |
दिए गए प्रतिबंधों की संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए शीर्ष `(pm 2,0)` नाभियाँ `(pm 3,0)` |
| Answer» Correct Answer - `x^2/4-y^2/5=1` | |
| 82. |
दिए गए प्रतिबंधों की संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए शीर्ष `(0,pm 3 )` नाभियाँ `(0, pm 5 )` |
| Answer» Correct Answer - `y^2/9-x^2/16=1` | |
| 83. |
निम्नलिखित प्रतिबन्धो को सन्तुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए : (iv) नाभियाँ `(0,+-13)`, संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 24 है | |
| Answer» Correct Answer - `y^2/25-x^2/39=1` | |
| 84. |
दिए गए प्रतिबंधों की संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए नाभियाँ `(0, pm sqrt(10) )` है तथा (2,3) से होकर जाता है | |
| Answer» Correct Answer - `y^2/5-x^2/5=1` | |
| 85. |
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष मूल बिंदु है तथा जो y -अक्ष के सापेक्ष सममित है व बिन्दु (2,3) से होकर जाता है | |
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Answer» प्रश्नानुसार परवलय का शीर्ष , मूल बिन्दु है तथा वह y - अक्ष के सापेक्ष सममित है अर्थात परवलय का अक्ष y -अक्ष के अनुदिश है | `therefore` परवलय का समीकरण `x^(2) = 4ay` प्रश्नानुसार , परवलय (i) बिन्दु `(2,-3)` से होकर जाता है | इसलिए `(2)^(2) = 4a (-3)` `rArr" "a = - (1)/(3)` a के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर `x^(2) = 4(-(1)/(3))y` `rArr" "3x^(2) = - 4y" "` यही परवलय का अभीष्ट समीकरण है | |
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| 86. |
परवलय `y^(2) = 4ax` के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PT व अभिलम्ब PN इसकी अक्ष से क्रमश : बिन्दु T v N पर मिलते है `DeltaPTN` के केन्द्रक का बिन्दुपथ परवलय है जिसका |(जिसकी ) -A. शीर्ष `((2a)/(3),0)` हैB. नियता x = 0 हैC. नाभिलम्ब `(2a)/(3)` हैD. नाभि `(a,0)` है | |
| Answer» Correct Answer - A::D | |