InterviewSolution
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| 1. |
पूर्णांकों के समुछ्य Z में सम्बन्ध R निम्न प्रकार परिभाषित है `R={(a,b):(a-b)"सम है"}` दिखाइए की R, Z में एक तुल्यता सम्बन्ध है । |
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Answer» (i) माना `ainZ` तब `a-a=0` जो की सम है । `rArr" "aRa` `rArr" R"` सावतुल्य सम्बन्ध है । (ii) `(a,b)inRrArr(a-b)` सम है `rArr" "-(a-b)` सम है `rArr" "b-a` सम है `rArr" "(b-a)inR` `rArr" R"` एक सममित सम्बन्ध है माना `(a, b)inR,(b,c)inR ` `rArr [(a-b)"v"(b-c)]` सम संख्या है `rArr[(a-b)+(b-c)]` सम संख्या है `rArr" "a,c` सम संख्या है `rArr" "a-cinR` `rArr" "R` एक संक्रामक सम्बन्ध है अतः (i),(ii) व् (iii) से R एक तुल्यता सम्बन्ध है । |
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| 2. |
यदि `f(x)=|x|` तथा `g(x)=|5x-2|,` तब gof तथा fog के मान ज्ञात कीजिय |
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Answer» दिया है : `f(x)=|x|` तथा `g(x)=|5x-2|` तब `gog(x)=g(f(x))` `=g(|x|)=|5|x|-2` तथा `fog(x)=f(g(x))` `=f(|5x-2|)=|5x-2|` |
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| 3. |
प्रकृत संख्याओं के समुछ्य पर सम्बन्ध `R{(a,b),a=2b}` द्वारा परिभाषित है, तब `R^(-1)` का मान होंगे --A. `{(2,1),(4,2),(6,3),…}`B. `{(1,2),(2,4),(3,6),…}`C. `R^(-1)`परिभाषित नहीं हैD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 4. |
यदि `A={1,2,3,4,5}` तथा `f:AtoA` व् `g:AtoA,` निम्न प्रकार परिभाषित फलां है --- `f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=1` तथा `g(1)=4,g(2)=1,g(3)=1,g(4)=2,g(5)=3` fog तथा gof के मान ज्ञात कीजिय | |
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Answer» प्रश्नानुसार, `f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=1` तथा `g(1)=4,g(2)=1,g(3)=1,g(4)=2,g(5)=3` tab, `fog(1)=f(g(1))=f(4)=5` `fog(2)=f(g(2))=f(1)=2` `fog(3)=f(g(3))=f(1)=2` `fog(4)=f(g(4))=f(2)=3` व् `fog(5)=f(g(5))=f(3)=4` atah `fog={(1,5),(2,2),(3,2),(4,3),(5,4)}` इसी प्रकार `gof(1)=g(f(1))=g(2)=1` `gof(2)=g(g(2))=g(3)=1` `gof(3)=g(f(3))=g(4)=2` `fog(4)=g(f(4))=g(5)=3` व् ` gof(5)=g(f(5))=g(1)=4` अतः `gof={1,1),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}` |
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| 5. |
माना R से R तक तीन फलां `f, g,` व् h इस प्रकार परिभाषित है की `f(x)=x^2-1,g(x)=sqrt(x^2+1)` तथा ` h(x)=x` तब `ho(fog)(x)` का मान है ---A. `x`B. `x^2`C. `0`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 6. |
माना N प्रकृत संख्याओं का समुच्य है तथा `(a, b)R(c, d)` यदि और केवल यदि `ad(b+c)=bc(a+d)` जांच कीजिय की `R, NxxN` में तुल्यता सम्बन्ध है या नहीं | |
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Answer» प्रश्नानुसार, `(a, b)R(c,d)hArrad(b+c)=bc(a+d)` (i) हम जानते है की सभी `a, b in N` के लिए `ab(b+a)=ba(a+b)` इसलिए `(a,b)R(a+b)` `rArr" R"` सावतुल्य सम्बन्ध है (ii) माना `(a,b)R(c,d)` `rArr" "ad(b+c)=bc(a+d)` `rArr" "bc(a+d)=ad(b+c)` `rArr" "cb(d+a)=da(c+b)` `rArr" "(c,d)R(a,b)` इसलिए R एक समिट सम्बन्ध है (iii) माना `(a, b)R(c, d)` तथा `(c, d)R(c,f)` `rArr" "ad(b+c)=bc(a+d)` तथा `(b+c)/(bc)=(a+d)/(ad)` तथा `(d+e)/(ad)=(c+f)/(cf)` `rArr" "1/c+1/b=1/d+1/a` तथा `1/e+1/d=1/f+1/c` `rArr" "1/c+1/b+1/e+1/d=1/d+1/a+1/f+1/c` `rArr" "1/b+/e=1/a+1/f` तथा `(b+e)/(be)=(a+f)/(af)` `rArr" "af(a+e)=be(a+f)rArr(a,b)R(e,f)` इसलिए `(a,b)R(c,d)` तथा `(c,d)R(e,f)rArr(a,b)R(e,f)` `rArr" R"` संक्रमक है अतः (i), (ii) व् (iii) से निष्कर्ष निकलता है की सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है |
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| 7. |
यूक्लिड समतल में कौन - सा तुल्यता सम्बन्ध नहीं है ?A. रेखाओ की समांतरताB. त्रिभुजाओ की अनुरूपताC. त्रिभुजाओ की सर्वांगसमताD. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 8. |
माना `R_1` व् `R_2,A` पर दो तुल्यता सम्बन्ध है । दर्शय की `R_1capR_2` भी A पर तुल्यता सम्बन्ध है | |
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Answer» माना `R_1` व् `R_2` समुछ्य A पर दो तुल्यता सम्बन्ध है तब, `R_1capR_2` भी A पर एक सम्बन्ध है (i)`R_1` व् `R_2` सवतुलाय है `rArr" "(a,a)in R_1` व् `(a,a)inR_2" "AAainA` `rArr" "(a,a)inR_1capR_2" "AAainA` `rArr" "R_1capR_2` सावतुलाय है (ii) माना `(a,b)inR_1capR_2` सवच्छ अवयव है `rArr" "(a,b)inR_1` व् `(a,b)inR_2` `rArr" "(b,a)in R_1` व् `(b,a)inR_2` (`becauseR_1` व् `R_2` दोनों समिट है ) rArr" "(b,a)inR_1capR_2` (iii) माना `(a, b)inR_1capR_2` v `(b,c)inR_1capR_2` tab `(a,b)inR_1,(a,b)in R_2` v `(b,c)inR_1,(b,c)inR_2` `rArr" "((a,b) in R_1, (b,c)inR_2)` `rArr" "(a,c)inR_1` v `(a,c)inR_2` (`because R_+1` v `R_2` दोनों सावतुल्य है ) `rArr" "(a,c)inR_1capR_2` `rArr" "R_1capR_2` संक्रामक है अतः (i),(ii) व् (iii) से `R_1capR_2` एक तुल्यता सम्बन्ध है |
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| 9. |
माना `A={1,2}, A` से A पर एकेकी फलां ज्ञात करो । |
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Answer» माना `f:AtoA` पर एक एकेकी फलां है यहां पर f(1) के लिए दो विलल्प है 1 व् 2 माना `f(1)=1` अब, चूँकि `f:AtoA` एकेकी है इसलिए `f(2)=2` इसी प्रकार माना `f(1)=2` और f एकेकी है इसलिए `f(2)=2` इसलिए हम कहते है `f(1)=2` और `f(2)=1` अतः यहां पर हमे दो एकेकी फलां प्रताप होते है, माना f व् g , A से A पर निम्न प्रकार में `f(1)=1,f(2)=2` और `g(f(2))=1` व् ` g(f(1))=2` |
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| 10. |
माना `A={x inR:-1lexle1}=B` दिखाइए की `f:AtoB ` जोकि निम्न द्वारा परिभाषित है `f(x)=x।" "x।` इक्केकी आच्छादक ( one - one onto ) है । |
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Answer» माना x व् y समुच्छ A के दो स्वेच्छिक अवयव इस प्रकार है , की `x ne y ` दिए गए अनुसार `x ne y rArrx|x|ney|y|` `rArr" "f(x)nef(y)` `rArr" f"` एकेकी है अब, चूँकि `f=(A)` का परिसर B है अतः `f:AtoB` अतः f एक आच्छादर फलां है इसलिए स्पष्ट है, की फलां f एकेकी व् आच्छादक फलां है |
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| 11. |
माना A व् B दो समुछ्य है तथा `f:AxxBtoBxxA` इस प्रकार है, की `f(a, b)=(b,a)` तो सिद्ध कीजिय की f एक एकेकी आच्छादक ( one - one onto ) फलन है । |
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Answer» दिया है : `f:AxxBtoBxxA` तथा `f(a, b)=(b,a)` (i) f को एकेकी दिखाने के लिए : माना `(a_1,b_1)` तथा `(a_2,b_2), AxxB` के दो अवयव इस प्रकार है की `f(a_1,b_1)=f(a_2,b_2)` `rArr" "(b_1,a_1)=(b_2,a_2)` `rArr" "(a_1,b_1)=(a_2,b_2)` इसलिए f एक एकेकी फलन है (ii) f को अछेदाक दिखने के लिए : माना `(b,a),BxxA` का एक स्वेच्छिक अवयव है । तब `binB, a in ArArr(a, b)inAxxB` इस प्रकार की `f(a, b)=(b,a)` `rArr" "(b,a)` का पूर्व प्रतिबिम्ब `(a, b)` है । अतः (i) व् (ii) से हम कह सकते है की f, एकेकी आच्छादक फलॉँ है |
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| 12. |
माना `R^+` सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुछ्य है तथा `f:R^+toR^+` जबकि `f(x)=e^(x)" "AAxinR` दर्शाइए की f व्यूत्क्रमणीय है तथा `f^-1` ज्ञात कीजिय |
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Answer» (i) f एकेकी है : `f(x_1)=f(x_2)` `rArr" "e^(x_(1))=e^(x_(1))" "AAx_1,x_2 in R^+` `hArr" "x_1=x_2" "AAx_1,x_2inR^+` अतः f एकेकी है (ii) f आच्छादक है : प्रत्येक `y in R^+` के लिए एक धात्मक वास्तविक संख्या `log y` ( माना ) अस्तित्व में है जबकि `f("log y")=e^("log y")=y` `rArr" f"` एकेकी है (iii) `f^-1` ज्ञात करना : `f^-1,R^+toR` जबकि `f^(-1)(y)=logyAAyinR^+` |
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| 13. |
माना `f:[-1,1]toy` जबकि `f(x)=x/(x+2),ne-2` तथा Y= परिसर (f) दर्शाइए की f व्यूत्क्रमणीय है तथा `f^(-1)` ज्ञात कीजिय |
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Answer» परिसर, `(f)=[-1,1]=BrArrf` आच्छादक है अब, `f(x_1)=f(x_2)` `rArrx_1/(x_1+2)=x_1/(x_2+2)rArrx_1x_2+2x_1=x_1x_2+2x_2` `rArr2(x_1-x_2)=0rArrx_1=x_2` `rArr f` एकेकी है चूँकि परिसर `(f)=YrArrf` आच्छादक है अब `y=f(x)rArr=x/(x+2)` x के लिए हल करने पर, `x=(2y)/(1-y)rArrf^(-1)(y)=(2y)/(1-y) ` |
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| 14. |
क्या समुच्चय {1, 2. 3. 4. 5) में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए। |
| Answer» Correct Answer - नहीं | |
| 15. |
`f(x) = 4x + 3` द्वारा प्रदत्त फलन `f : R to R` पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `f^(-1),f^(-1)y =(y-3)/(4)` द्वारा प्रदत है| | |
| 16. |
यदि `f(x)=(x-1)/(x+1)` तो सिद्ध कीजिय `(fof^(-1))(x)=x` |
| Answer» `fof^-1(x)f[f^(-1)(x)]=f((1+x)/(1-x))=((1+x)/(1-x)-1)/((1+x)/(1-x)+1)=x` | |
| 17. |
माना `A={x,x in R,-pi/2lexlepi/2}` तथा `B={y:y in R,-1leley1}` दर्शाओ की फलां `f:AtoB` जबकि `f(x)=sinx` व्यूत्क्रमणीय है तथा `f^(-1)` ज्ञात कीजिय। |
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Answer» `f(x_1)=f(x_2)rArrsinx_1=sinx_2` `rArr" "x_1=x_2" "rArrf` एकेकी है `y=f(x)rArrysinx` `rArr" "x=sin^-1yrArrf^(-1)(y)=sin^(-1)y` |
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| 18. |
यदि `f:RtoR,f(x)=ax+b,a,b inR` द्वारा परिभषित फलां है तब a व् b के मान ज्ञात कीजिय जबकि `fof=I_R` |
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Answer» `fofx=3/yrArrf[f(x)]=x` `rArr=f(ax+b)=x` `rArr" "a(ax+b)+b=x` `rArr" "a^2x+ab+b=x` जो केवल तभी संभव है तब `a=1` व् `b=0` तथा `a=-1, b in R` |
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| 19. |
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का ओचित्य भी बतलाइए। (i) `f(x) = 3-4x` द्वारा परिभाषित फलन `f: R toR ` है। (ii) ` f(x)= 1+ x^(2)` द्वारा परिभाषित फलन `f: R to R` है। |
| Answer» Correct Answer - (i) एकेकी और आच्छादक (ii) न तो एकैकी और न ही आच्छादक | |
| 20. |
निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम ज्ञात कीजिय ---- (i) `f(x)=-x/3+4` (ii) `f(x)=(x-1)/(x+1)` (iii) `f(x)=sqrt(1-x^2),0lexle1` |
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Answer» (i) `f(x)=-1/3x+4rArry=-1/3x+4` `rArr=-3(y-4)` `rArry=-3(x-4)` `rArr" "a^2x+ab+b=x` `rArr" "f^(-1)(x)=12-3x` |
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| 21. |
बतलाइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य है। औचित्य भी बतलाइए। (i) बतलाइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य है। औचित्य भी बतलाइए `a**a=a, AA a in N` यदि N में * एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है, तो `a** (b**c) = (c**b) **a` |
| Answer» Correct Answer - (i) असत्य (ii) सत्य | |
| 22. |
कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं : (i) `f: {1,2,3,4} to {10}` जहाँ `f={(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)}` (ii) `g :{5,6,7,8} to {1,2,3,4} जहाँ `g = {(5,4),(6,3),(7,4),(8,2)}` (iii) `h : {2,3,4,5} to { 7,9,11,13}` जहाँ `h = {(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)}` |
| Answer» Correct Answer - (i) नहीं, क्योकि f एक बहुएक फलन है | (ii) नहीं, क्योकि g एक बहुएक फलन है (iii) हा, क्योकि h एक एककी तथा आच्छादक फलन है | | |
| 23. |
मान लीजिए कि `f(x) = 3x` द्वारा परिभाषित फलन `f: R to R ` है। सही उत्तर चुनिए: (A) f एकेकी आच्छादक है (B) f बहुएक आच्छादक है। (C) एकेकी है परंतु आच्छादक नहीं है (D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है। |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 24. |
मान लीजिए कि `f: R to R ,f(x)=10x+7` द्वारा परिभाषित फलन है । एक ऐसा फलन `g: R to R ` ज्ञात कीजिये जिसके लिए `gof = fog =1_(R )` हो । |
| Answer» Correct Answer - `g(y)=(y-7)/(10)` | |
| 25. |
`a**b =|a-b| ` तथा `a0b =a , AA a , b in R ` द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं `**: R xx R to R ` तथा ` o: R xx R to R ` पर विचार कीजिए । सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है , o साहचर्य है परन्तु क्रमविनिमेय नहीं है । पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी ` a,b,c in R ` के लिए `a**(b0c) =(a**b)o(a**c) ` है । [ यदि ऐसा होता है , तो हम कहते है कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित (Distributes ) होती है । ] क्या o संक्रिया * पर वितरित होती है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए। |
| Answer» Correct Answer - No | |
| 26. |
मान लीजिए कि S ={a,b,c} तथा T={1,2,3 } है । S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए `F^(-1)` ज्ञात कीजिए , यदि उसका अस्तित्व है : (i) F={(a,3),(b,2),(c,1)} (i) F={(a,2),(b,1),(c,1)} |
| Answer» Correct Answer - (i) `F^(-1) = {(3,a),(2,b),(1,c)}`, (ii) `F^(-1)` अस्तित्व नहीं है | | |
| 27. |
मान लीजिए कि समुच्चय `NN` में, `R = {(a,b) : a= b-2, b gt 6}` द्वारा प्रदत्त संबंध R निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए: (A) `(2,4) in R` (B) ` (3,8) in R` (C) `(6,8) in R` (D) `(8,7) in R` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 28. |
यदि `f:R to R` जहाँ `F(x)=x^(2)-3x+2` द्वारा परिभाषित है तो f(f(x)) ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `x^(4) - 6x^(3) + 10x^(2) - 3x` | |
| 29. |
मान लीजिए कि समुच्चय { 1,2,3,4} से `R= {(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)}` द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए। (A) R स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है। (B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है। (C) R सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है। (D) R एक तुल्यता संबंध है। |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 30. |
समुच्चय {1,2,3,…,n} से स्वयं तक से समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - n! | |
| 31. |
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है । P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है , पर विचार कीजिए । निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए : P(X) में उपसमुच्चयों A,B के लिए ,ARB , यदि और केवल यदि `A sub B` है । क्या `R,P(X)` में एक तुल्यता संबंध है ? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए । |
| Answer» Correct Answer - No | |
| 32. |
मान लीजिएः की X -Y तल में स्थित समस्त रेखाओ का समुच्चय L है, L और R में `R={(L_(1),L_(2)):L_(1)` समान्तर है `L_(2)` के द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है रेखा `y=2x+4 से सम्बन्ध समस्त रेखाओ का समुच्चय ज्ञात कीजिएः । |
| Answer» Correct Answer - सभी रेखाओं ` y = 2x + c, xc in R` का समुच्चय | |
| 33. |
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजो के समुच्यो A मै R=`{(T_(1),T_(2)):T_(1),T_(2)` के समरूप है। द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुलयता संबंध है। भुजाओ 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज `T_(1)` भुजाओ 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज `T_(2)`, तथा भुजाओं 6, 8 10 वाले सगकोण त्रिभुज `T_(3)` पर विचार कीजिए। `T_(1),T_(2) "और" T_(3)`, में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित है? |
| Answer» Correct Answer - `T_(1)` और `T_(3)`परस्पर संबधित हैं। | |
| 34. |
सिद्ध किजिए कि समुच्चय `A = { x in Z : 0 le x le 12}` में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध हैं: (i) R = {(a, b) : la-bl, 4 का एक गुणज (ii) R = { (a, b) a = b}, प्रत्येक दशा में । से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - (i) {1,5,9}, (ii) {1} | |
| 35. |
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है, (1) समुच्चय `A = {1,2,3,….,13,14)` में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि ` R = {(x,y) : 3x - y = 0` (ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में `R = {( x,y : y = x + 5` तथा `x lt 4}` द्वारा परिभाषित. (iii) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R= (x, y) : y भाज्य है x से} द्वारा परिभाषित संबंध R है। (iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {x, y) : x -y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R. (v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सबंध R. (a) R = {(x,y ) : x तथा y एक हा स्थान पर कार्य करते (b) R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं। (c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है) (d) R = {(x, y) : x , ) की पत्नी है} (e) R = {(x, y) : x, y के पिता हैं). |
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Answer» Correct Answer - (i) स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक (ii) स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक. (iii) स्वतुल्य और संक्रामक परंतु सममित नहीं. (iv) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक (v) (a) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक (b) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक (c) स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक (d) स्वतुल्य नहीं, समगित नहीं ओर लेकिन संक्रामक (e) स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक |
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| 36. |
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1,2, 3,4, 5, 6) में `R = {(a,b) : b = a+1}` द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक हैं। |
| Answer» Correct Answer - स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक | |
| 37. |
जाँच कीजिए कि क्या वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में `R={(a,b): a le b^(3)}` द्वारा परिभाषित सम्बन्ध स्वतुल्य , सममित अथवा संक्रामक है |
| Answer» Correct Answer - स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं और न तो संक्रामक | |
| 38. |
Find which of the operations given above hasidentity. |
| Answer» Correct Answer - (V) | |
| 39. |
निम्नलिखित परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमय है तथा क्या साहचर्य है। (i) Z,मे a * b = a-b द्वारा परिभाण्ति (ii) Q मे, a*b = ab + 1 द्वारा परिभाण्ति (iii) Q मे, `a**b = (ab)/(2)` द्वारा परिभाण्ति (iv)`Z^(+)` मे`a**b= 2^(ab)` द्वारा परिभाण्ति (v) `Z^(+)` मे, `a**b = a^(b)` द्वारा परिभाण्ति (vi)`R -{-1}` मे `a**b = (a)/(b+1)` द्वारा परिभाण्ति |
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Answer» Correct Answer - (i) * द्विआधारी है परंतु न तो क्रमविनिमेय और न ही साइचर्य (ii) * द्विआधारी और क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं (iii) * द्विआधारो क्रमचिनिमेय और साहचयं हैं। (iv) * द्विआधारो और ब्रमविनिरमेय है परंतु राहचर्य नहीं (v) * द्विआधारी है परंतु न तो क्रमविनिमेय और न ही साहचर्य (vi) * द्विआधारी नहीं है। |
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| 40. |
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुन्नय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित द्विआधारी संक्रिया है:. ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनर्सी साहचर्य हैं। (i) a*b = a-b (ii) a*b `= a^(2) + b^(2)` (iii) a*b = a+ ab (iv) a*b `= (a+ b)^(2)` (v) a*b `= (a^(b))/(4)` (vi) a*b `= ab^(2)` |
| Answer» Correct Answer - (ii),(iv) (v) क्रमविनीमेय है (v) साहचर्या है | | |
| 41. |
यदि f : R `to R , f (x) = (3 - x^3)^(1//3)` व्दारा प्रदत्त हैं , तो fof (x) बराबर हैं - |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 42. |
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित प्रत्येक संक्रिया से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए। (i) `Z^(+)` में, a * b = a - b द्वारा परिभाषित संक्रिया. (ii) `Z^(+)` में, a * b = ab द्वारा परिभाषित संक्रिया (iii) R में, संक्रिया *, a *b = `ab^(2)` द्वारा परिभाषित. (iv) `Z^(+)` में, संक्रियाः *, a * b = |a-b| द्वारा परिभाषित (v) `Z^(+)` में, संक्रिया *, a * b=a द्वारा परिभाषित |
| Answer» Correct Answer - (i) नहीं (ii) हां (iii)हां (iv) हां (v)हां | |
| 43. |
Let `f: R-{-4/3}->R`be a function as `f(x)=(4x)/(3x+4)`. The inverse of f is map, `g: R a ngef->R-{-4/3}`given by.(a) `g(y)=(3y)/(3-4y)` (b) `g(y)=(4y)/(4-3y)`(c) `g(y)=(4y)/(3-4y)` (d) `g(y)=(3y)/(4-3y)` |
| Answer» Correct Answer - B | |