Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

सिद्ध कीजिए कि - `sqrt((1+sin theta)/(1-sin theta))=sec theta + tan theta`

Answer» बायाँ पक्ष `=sqrt((1+sin theta)/(1-sin theta))=sqrt(((1+sin theta)(1+sin theta))/((1-sin theta)(1+sin theta)))=sqrt(((1+sin theta)^(2))/(1-sin^(2)theta))=sqrt(((1+sin theta)^(2))/(cos^(2) theta))`
`=(1+sin theta)/(cos theta)=(1)/(cos theta)+(sin theta)/(cos theta)`
`=sec theta+tan theta= ` दायाँ पक्ष
Discussion
2.

सिद्ध कीजिए कि - `sqrt((1-sin theta)/(1+sin theta))=sec theta - tan theta`

Answer» बायाँ पक्ष `=sqrt((1-sin theta)/(1+sin theta))=sqrt(((1-sin theta)(1-sin theta))/((1+sin theta)(1-sin theta)))=sqrt(((1-sin theta)^(2))/(1-sin^(2)theta))`
`=sqrt(((1-sin theta)^(2))/(cos^(2)theta))`
`=(1-sin theta)/(cos theta)=(1)/(cos theta)-(sin theta)/(cos theta)`
`=sec theta-tan theta=` दाँया पक्ष
Discussion
3.

सिद्ध कीजिए कि - `(1-sin theta)/(1+sin theta)=(sec theta-tan theta)^(2)`

Answer» बायाँ पक्ष `=(1-sin theta)/(1+sin theta)=((1-sin theta))/((1+sin theta))xx((1- sin theta))/((1-sin theta))`
`=((1-sin theta)^(2))/(1-sin^(2) theta)=((1-sin theta)^(2))/(cos^(2) theta)`
`=((1-sin theta)/(cos theta))^(2)`
`=((1)/(cos theta)-(sin theta)/(cos theta))^(2)=(sec theta - tan theta)^(2)=` दायाँ पक्ष
Discussion
4.

यदि `x sin^(3) theta+y cos^(3) theta = sin theta cos theta` तथा `x sin theta - y cos theta =0` तो सिद्ध कीजिए कि - `x^(2)+y^(2)=1`

Answer» दिया है-`" "x sin^(3) theta +y cos^(3)theta=sin theta cos theta" ...(i)"`
तथा `" "x sin theta - y cos theta = 0" ...(ii)"`
`rArr" "x sin theta = y cos theta`
`rArr" "x=y (cos theta)/(sin theta)`
समीकरण (i ) में x का यह मान रखने पर
`y.(cos theta)/(sin theta).sin^(3)theta+y cos^(3) theta =sin theta cos theta`
`rArr" "ycostheta(sin^(2)theta+cos^(2)theta)=sin theta cos theta`
`rArr" "y cos theta = sin theta cos theta`
`rArr" "y=sin theta" ...(iii)"`
यह मान समीकरण (ii ) में रखने पर
`x=costheta" ...(iv)"`
समीकरण (iii ) व (iv ) से
`x^(2)+y^(2)=cos^(2)theta+sin^(2)theta=1" "` यही सिद्ध करना था।
Discussion
5.

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए । `tan 36^(@) tan 54^(@)`

Answer» `tan 36^(@) tan 54^(@)=tan (90^(@)-54^(@)).tan 54^(@)" "[because tan(90^(@)-theta)=cot theta]`
`=cot 54^(@).tan54^(@)`
`=(1)/(tan 54^(@)).tan 54^(@)=1`
Discussion
6.

यदि `a sec theta+b tan theta +c=0` तथा `p sec theta + q tan theta + r =0` तो सिद्ध कीजिए कि -

Answer» दिया है- `" "a sec theta +b tan theta" ...(i)"`
व `" "p sec theta+q tan theta+r = 0" ...(ii)"`
समीकरण (i ) व (ii ) से
`underset("(a)")((sec theta)/(br - qc)) = underset("(b)")((tan theta)/(pc-ar))=underset("(c)")((1)/(aq-pb))`
(a ) व (c ) से `" "sec theta=(br-qc)/(aq-pb)" ...(iii)"`
तथा (b ) व (c ) से `" "tan theta=(pc-ar)/(aq-pb)`
समीकरण (iii ) व (iv ) से तथा `sec^(2)theta-tan^(2) theta=1` का प्रयोग करने पर
`((br-qc)/(aq-pb))^(2)((pc-aq)/(aq-pb))^(2)=1`
`rArr" "(br-pc)^(2)-(pc-aq)^(2)=(aq-pb)^(2)" "` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
7.

यदि `A + B=45^(@)`, तो सिद्ध कीजिए की `(1 +tan A)(1 +tan B)=2`

Answer» दिया है- `A+B=45^(@)`
`implies tan (A+B) =tan 45^(@)=1`
`implies (tan A+tan B)/(1-tan A tan B)=1`
`implies tan A+tan B=1-tan A tan B`
`implies tan A+ tan A tan B+tan B=1`
`implies tan A(1+ tan B)+tan B=1`
`implies tan A(1+tan B)+tan B+1=1+1=2`
`implies (1+tan B)(1+tan A)=2`
`implies (1+tan A) (1+tan B)=2`
Discussion
8.

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए । `cos 105^(@)`

Answer» `cos 105^(@)=cos(60^(@)+45^(@))`
`=cos60^(@)cos 45^(@)-sin 60^(@) sin 45^(@)`
`=(1)/(2)xx(1)/(sqrt2)-(sqrt3)/(2)xx(1)/(sqrt2)=(1)/(2sqrt2)-(sqrt3)/(2sqrt2)=(1-sqrt3)/(2sqrt2)`
Discussion
9.

सिद्ध कीजिए कि `(cos 11^(@)+sin 11^(@))/(cos 11^(@)-sin 11^(@))=tan 56^(@)`

Answer» दायाँ पक्ष `=tan 56^(@)=tan(45^(@)+11^(@))`
`=(tan45^(@)+tan 11^(@))/(1-tan 45^(@) tan 11^(@))=(1+tan11^(@))/(1-tan 11^(@))`
`=(1+(sin 11^(@))/(cos11^(@)))/(1-(sin 11^(@))/(cos11^(@)))=(cos 11^(@)+sin 11^(@))/(cos 11^(@)-sin 11^(@))" "(because tan 45^(@)=1)`
= बायाँ पक्ष
Discussion
10.

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए । `tan 105^(@)`

Answer» `tan 105^(@)=tan(60^(@)+45^(@))`
`=(tan 60^(@)+tan45^(@))/(1-tan 60^(@) tan 45^(@))=(sqrt3+1)/(1-sqrt3.1)=(1+sqrt3)/(1-sqrt3)`
Discussion
11.

सिद्ध कीजिए की- `tan 3x tan 2x tan x=tan 3x-tan 2x-tan x`

Answer» `tan (3x)=tan (2x+x)=(tan 2x+tan x)/(1-tan 2x tan x)`
`implies tan 3x(1-tan 2x tan x)=tan 2x+tan x`
`implies tan 3x-tan 3x tan 2x tan x=tan 2x+tan x`
`implies tan 3x-tan 2x-tan x=tan 3x tan 2x tan x`
Discussion
12.

यदि `tan (alpha +theta)=n tan (alpha-theta)`, तो सिद्ध कीजिए की- `(n+1) sin 2 theta=(n-1) sin 2 alpha`

Answer» दिया है- `tan (alpha+theta)=n tan (alpha-theta)`
`implies (tan (alpha+theta))/(tan (alpha -theta))=n/1`
`implies (tan (alpha+theta)+tan (alpha-theta))/(tan (alpha+theta)-tan (alpha-theta))=(n+1)/(n-1)` (योगान्तरानुपात विधि से)
`implies ((sin (alpha+theta))/(cos (alpha+theta))+(sin (alpha-theta))/(cos (alpha-theta)))/((sin(alpha+theta))/(cos (alpha+theta))-(sin (alpha-theta))/(cos (alpha - theta)))=(n+1)/(n-1)`
`implies (sin (alpha+theta)cos (alpha -theta)+cos(alpha+theta) sin (alpha-theta))/(sin (alpha+theta)cos (alpha-theta)-cos(alpha+theta)sin(alpha-theta))=(n+1)/(n-1)`
`implies (sin (alpha+theta+alpha-theta))/(sin(alpha+theta-alpha+theta))=(n+1)/(n-1)`
`implies (sin 2 alpha)/(sin 2 theta)=(n+1)/(n-1)`
`implies (n-1) sin 2alpha=(n+1) sin 2 theta`
`implies (n+1) sin 2 theta=(n-1) sin 2 alpha`
Discussion
13.

सिद्ध कीजिए कि `sin20^(@)sin40^(@)sin60^(@)sin80^(@)=(3)/(16)`

Answer» बायाँ पक्ष `" "=sin 20^(@) sin 40^(@) sin 60^(@) sin 80^(@)`
`=sin 20^(@) sin 40^(@)(sqrt3)/(2)sin80^(@)" "(because sin 60^(@)=(sqrt3)/(2))`
`=(sqrt3)/(2)[(1)/(2){cos(40^(@)-20^(@))-cos(40^(@)+20^(@))}]sin 80^(@)`
`=(sqrt3)/(2)xx(1)/(2)(cos 20^(@)-cos60^(@))sin 80^(@)`
`=(sqrt3)/(4)(cos 20^(@)sin 80^(@)-cos 60^(@) sin 80^(@))`
`=(sqrt3)/(4) [(1)/(2){sin(20^(@)+80^(@))-sin (20^(@)-80^(@))}-(1)/(2)sin 80^(@)]" "(because cos 60^(@)=(1)/(2))`
`=(sqrt3)/(4)xx(1)/(2)[sin 100^(@)-sin(-60^(@))-sin 80^(@)]`
`=(sqrt3)/(8)[sin(180^(@)-80^(@))+sin 60^(@)-sin 80^(@)]`
`=(sqrt3)/(8)[sin 80^(@)+sin 60^(@)-sin 80^(@)]`
`=(sqrt3)/(8)sin 60^(@)`
`=(sqrt3)/(8)xx(sqrt3)/(2)`
`=(3)/(16)=` दायाँ पक्ष
Discussion
14.

यदि `tan A=(5)/(6)` तथा `tan B=(1)/(11)` तो सिद्ध कीजिए कि `A+B=45^(@)`

Answer» दिया है - `tanA=(5)/(6)" तथा "tan B=(1)/(11)`
हम जानते हैं, कि
`tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)`
`=((5)/(6)+(1)/(11))/(1-(5)/(6)xx(1)/(11))=((55+5)/(66))/((66-5)/(66))=(61)/(66)xx(66)/(61)=1`
Discussion
15.

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए । `sin 105^(@)`

Answer» `sin 105^(@)=sin(60^(@)+45^(@))`
`=sin 60^(@)cos45^(@)+cos60^(@)sin45^(@)`
`=(sqrt3)/(2).(1)/(sqrt2)+(1)/(2)xx(1)/(sqrt2)=(sqrt3)/(2sqrt2)=(sqrt3+1)/(2sqrt2)`
Discussion
16.

75 सेमी लंबाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है। उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोट द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित है: (i) 10 सेमी (ii) 15 सेमी (iii) 21 सेमी

Answer» Correct Answer - `(i) (2)/(15) (ii) (1)/(5) (iii) (7)/(25)`
Discussion
17.

यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमशः `60^(@)` तथा `75^(@)` के कोण बनाते हो, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `5:4`
Discussion
18.

यदि `tan((x)/(2))="cosec x"-sin x` हो, तो `tan^(2)((x)/(2))` का मान होगा -A. `2-sqrt5`B. `2+sqrt5`C. `-2-sqrt5`D. `-2+sqrt5`

Answer» Correct Answer - d
Discussion
19.

यदि `tan x=b//a` हो, तो `a cos 2x+bsin 2x` का मान होगा -A. 1B. abC. bD. a

Answer» Correct Answer - d
Discussion
20.

यदि `S_(n)=cos^(n)theta+sin^(n)theta` हो, तो `3S_(4)-2S_(6)` का मान होगा-A. 4B. 0C. 1D. 7

Answer» Correct Answer - c
Discussion
21.

`3cos theta+4sin theta` का महत्तम मान होगा-A. 3B. 4C. 5D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - c
Discussion
22.

`sin^(2)1^(@)+sin^(2)2^(@)+sin^(2)3^(@)+….+sin^(2)89^(@)=`A. 89B. 44.5C. 45D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - b
Discussion
23.

`cos^(4)theta-sin^(4)theta` का मान होगा -A. `1+2sin^(2).(theta)/(2)`B. `2cos^(2)theta-1`C. `1-2sin^(2).(theta)/(2)`D. `1+2cos^(2)theta`

Answer» Correct Answer - b
Discussion
24.

यदि `DeltaABC` में, `2b^(2)=a^(2)+c^(2)` हो, तो `(sin 3B)/(sinB)` का मान होगा -A. `(c^(2)-a^(2))/(2ca)`B. `(c^(2)-a^(2))/(ca)`C. `((c^(2)-a^(2))/(ca))^(2)`D. `((c^(2)-a^(2))/(2ca))^(2)`

Answer» Correct Answer - d
Discussion
25.

`tan 1^(@).tan 2^(@).tan3^(@)…tan 89^(@)=`

Answer» Correct Answer - c
Discussion
26.

निम्नलिखित के मान निकाले `cot ((-15pi)/(4))`

Answer» Correct Answer - 1
Discussion
27.

साबित करें कि ` (sec 8A -1)/( sec 4 A -1) = ( tan 8A)/(tan 2 A )`

Answer» बायाँ पक्ष `= ((1)/(cos 8A)-1)/((1)/(cos 4 A )-1) = (1-cos 8A )/(1-cos4A) xx(cos 4A)/(cos 8A)`
`= ( 2sin^(2) 4 A )/(2 sin ^(2)2A) xx ( cos 4A)/(cos 8A) = ( sin 4A( 2 sin 4A cos 4A))/(2 sin^(2) 2 A cos8A) `
`= (2sin2A cos 2A . ( 2 sin 4A cos 4A ))/( 2 sin^(2) 2 A . cos8A)`
`= ( cos2A)/( sin2A) xx ( sin 8A)/(cos 8A) = cos 2 A. tan 8A = ( tan 8A)/( tan2A)`
Discussion
28.

साबित करें कि `2sin^(2) theta + 4 cos ( theta + alpha) sin alpha sin theta+ cos 2 ( alpha + theta) , theta ` से स्वतंत्र है

Answer» `2sin^(2) theta + 4 cos (theta + alpha) sin alpha sin theta +cos 2 ( alpha+ theta)`
`= 2 sin^(2) theta + 2 cos ( theta + alpha) 2sinalphasin theta + cos 2 ( alpha + theta)`
`= 2 sin^(2) theta+ 2 cos (theta + alpha) [cos ( theta - alpha) -cos ( theta + alpha) ] + cos 2 ( alpha+ theta)`
`= 2 sin^(2) theta+ 2 cos (theta + alpha) cos ( theta - alpha) -2cos^(2) ( theta + alpha) + cos 2 ( alpha+ theta)`
`=2 sin^(2) theta+2(cos^(2) theta-sin^(2) alpha) - 2 cos^(2) ( theta + alpha) + [2 cos^(2) ( alpha+ theta) -1]`
`= 2 sin^(2) theta + 2 cos^(2) theta - 2sin^(2) alpha -1 `
`= 2( sin ^(2) theta + cos^(2) theta ) - 2 sin^(2) alpha-1 `
`= 2-2-sin^(2) alpha-1= 1- 2 sin^(2) alpha = cos2 alpha`
जो कि `theta ` से स्वतंत्र है ।
Discussion
29.

साबित करें कि `cos 5A = 16 cos^(5) A - 20 cos^(3) A + 5 cos A `

Answer» `cos5A = cos ( 3A + 2A) = cos 3 A . cos 2A - sin 3A . sin 2A`
`= ( 4 cos^(3) A - 3 cos A) ( 2 cos^(2) A -1) - ( 3 sin A - 4 sin^(3) A) 2 sin A cos A `
`= (8 cos^(5)A-10cos^(3)A + 3 cos A ) - sin ( 3-4sin^(2) A ) . 2 sinA cos A `
`= 8cos^(5) A - 10 cos^(3) A + 3 cosA - 2 cos A .sin^(2)A [3-4(1-cos^(2)A)]`
`=8 cos^(5)A - 10cos^(3)A + 3 cos A - 2 cos A ( 1- cos^(2) A ) ( 4 cos^(2) A -1)`
`=8 cos^(5)A - 10 cos^(3) A + 3 cos A - 2 cosA ( 5 cos ^(2) A -1-14 cos^(4)A )`
`= 8 cos^(5)A- 10cos^(3)A + 3 cosA - 10 cos^(3) A + 2 cos A + 8 cos^(5)A `
`= 16 cos^(5) - 20cos^(3) A + 5 cosA`
Discussion
30.

साबित करें कि `cos6x= 32 cos^(6) x- 48 cos^(4) x + 18 cos^(2) x -1 `

Answer» L.H.S. `cos6x= cos 2 (3x)`
`= 2 cos^(2) 3 x -1= 2 ( 4 cos^(3) x - 3 cos x^(2)) -1 `
`= 2[ 16 cos^(6) x - 24 cos^(4) x + 9 cos^(2) x ]-1`
`= 32 cos^(6) x - 48 cos^(4) x + 18 cos^(2) x - 1 = ` R.H.S.
Discussion
31.

यदि (If)` sin alpha + sin beta = a ` तथा ` cos alpha + cosbeta) = b ` साबित करें `tan. ( alpha-beta)/(2) = +- sqrt((4-a^(2) -b^(2))/(a^(2) +b^(2)))`

Answer» प्रश्न से, `sin alpha + sin beta = a` …(1)
तथा ` cos alpha + cos beta = b ` …(2)
या, ` cos^(2) alpha + cos^(2) beta + 2 cos alpha cos beta + sin^(2) alpha +sin^(2) beta + 2 sinalpha sin beta = b^(2) + a^(2)`
या, ` ( cos^(2) a + sin^(2) alpha) + ( cos^(2) beta+ sin^(2) beta)+ 2 ( cos alpha cos beta +sin alpha sin beta ) =a^(2) +b^(2)`
या, ` 2+2 cos ( alpha - beta) = a^(2) + b^(2)`
या, `cos ( alpha - beta) = ( a^(2) + b^(2) -2)/(2)`
अब, `tan. ( alpha - beta)/( 2) +- sqrt((1-cos ( alpha-beta))/(1+cos ( alpha -beta)))`
`= +- sqrt((1-(a^(2) + b^(2) - 2)/(2))/(1+(a^(2) + b^(2) -2)/(2)))= +-sqrt((4-a^(2)-b^(2))/(a^(2)+b^(2)))`
Discussion
32.

साबित करें कि `sin 12^(@)sin 48^(@) sin54^(@) = (1)/(8)`

Answer» बायाँ पक्ष `= (1)/(2) ( 2 sin 48^(@) sin 12^(@)) sin54^(@)`
`= (1)/(2) ( cos 36^(@) - cos 60^(@)) cos 36^(@)`
`= (1)/(2) (( sqrt(5) +1)/(4) - (1)/(2)) . ( sqrt(5) + 1)/(4)`
`= (1)/(2) ((sqrt(5) -1)/(4)) . ((sqrt(5) + 1)/(4))= ( 5-1)/( 32) = (1)/( 8)`
Discussion
33.

यदि (If) `sin x + sin y =a ` और ( and) `cos x + cos y = b ` तो साबित करें `sin(x+y) = ( 2ab)/(a^(2) +b^(2))`

Answer» `2ab = 2 ( sin x + sin y ) ( cos x + cos y ) `
` = 2 ( sin x cos x + sin y cos y + sin x cos y + cos x sin y ) `
`=sin 2 x + sin 2y + 2 sin ( x+ y)`
` = 2 sin ( x+ y ) cos ( x-y) + 2 sin ( x+ y ) `
`= 2 sin ( x+ y ) [ cos ( x-y) + 1 ]` ...(1)
और `a^(2) + b^(2) = ( sin x + sin y ) ^(2) + ( cos x + cos y ) ^(2)`
`= sin^(2) x + sin^(2) y + 2 sinx siny+ cos^(2) x + cos^(2) y + 2 cos x cos y `
`= ( sin^(2) x + cos^(2) x) + ( sin^(2) y + cos^(2) y ) + 2(cos x cos y + sinx sin y ) `
`= 2+2cos ( x-y ) = 2 [1+ cos( x-y)]` ...(ii)
(i) को (ii ) से भाग देने पर , `(2ab)/( a^(2) + b^(2)) = sin ( x+ y )`
Discussion
34.

यदि (If) `2 tanalpha= 3 tan beta `,साबित करें कि `tan ( alpha - beta) = ( sin 2 beta)/( 5-cos 2beta)`

Answer» दिया हुआ है `2 tan alpha = 3 tan beta ` `:. tan alpha = (3)/(2) tan beta `
अब ` tan ( alpha-beta ) = ( tan alpha - tan beta )/( 1 tan alpha . tan beta) = ((3)/(2) tan beta - tan beta )/(1+(3)/(2) tan beta. tan beta )` ...(i)
`= ( tan beta)/( 2+ 3 tan^(2) beta) = ((sin beta )/(cos beta))/(2+3(sin^(2) beta)/(cos^(2) beta))= ( sin betacos beta)/(2 cos^(2) beta + 3 sin^(2) beta )`
`=(sin beta cos beta)/( 1+ cos 2 beta+ 3. (1)/(2) ( 1- cos 2 beta))= ( 2 sin beta. cos beta)/( 5+2 cos 2beta - 3 cos 2 beta)`
`= ( sin 2 beta)/( 5-cos 2 beta)`
Discussion
35.

यदि `tanbeta= ( n sinalpha cos alpha)/(1-n sin^(2)alpha) ` साबित करें कि `tan ( alpha-beta) = ( 1-n) tanalpha`

Answer» `tan beta = ( n sin alpha cos alpha) /(1-n sin^(2)alpha) = ((nsinalphacosalpha)/(cos^(2)alpha))/((1)/(cos^(2)alpha)-(nsin^(2)alpha)/(cos^(2)alpha))=(ntanalpha)/(sec^(2)alpha-ntan^(2)alpha)`
`= ( n tanalpha)/(1+tan^(2) alpha-ntan^(2) alpha) = ( ntanalpha)/(1+(1-n)tan^(2)alpha)`
अब L.H.S. `=tan(alpha-beta) = ( tanalpha-tanbeta)/(1+tanalphatanbeta)`
`= (tanalpha - ( n tanalpha)/(1+(1-n)tan^(2)alpha))/(1+tanalpha(n tanalpha)/(1+(1-n)tan^(2)alpha))` [(i) से ]
`=(tanalpha+(1-n)tan^(3)alpha-ntanalpha)/(1+(1-n)tan^(2)alpha+ntan^(2)alpha)`
`=((1-n)tanalpha+(1-n)tan^(3)alpha)/(1+tan^(2)alpha)`
`= ((1-n)tan alpha(1+tan^(2)alpha))/(1+tan^(2)alpha)=(1-n)tanalpha`
Discussion
36.

यदि (If) `tanalpha= (1)/(7) , sin beta = (1)/(sqrt(10))` साबित करें कि `alpha+2beta= (pi)/(4)` , जहाँ` 0 lt alpha lt(pi)/(2)` और `0 lt beta lt(pi)/(2)`

Answer» `tan (alpha+2beta)= (tanalpha+tan2beta)/(1-tanalphatan2beta)= ((1)/(7) +tan2beta)/(1-(1)/(7)tan2beta)` ....(i)
अब, `tan2beta =(2tanbeta)/(1-tan^(2)beta)= (2.(1)/(3))/(1-(1)/(9))=(3)/(4)`
` [ tan beta gt 0` क्योंकि `0 lt beta lt pi //2 ]`
`tan 2 beta ` का मान समीकरण (i ) में रखने पर,
`tan ( alpha +2beta) = ((1)/(7) +(3)/(4))/(1-(1)/(7).(3)/(4))= (25)/(25)= 1 `
अब , `0 lt alpha lt ( pi)/(2)` और `0 lt beta lt (pi)/(2)`
`:. 0 lt 2beta lt pi `, लेकिन `tan 2beta =(3)/(4) gt 0` `:. 0 lt 2 beta lt (pi)/(2)`
अतः `0 lt alpha +2betalt pi ` `:. alpha + 2beta= ( pi)/(4)`
Discussion
37.

सिद्ध कीजिए कि `cos^(3)theta cos 3 theta+sin^(3)thetasin 3 theta=cos^(3)2 theta`

Answer» बायाँ पक्ष `=cos4theta=cos(3theta+theta)`
`=cos3theta cos theta-sin theta`
`=(4cos^(3)theta-3 cos theta)cos theta-(3sin theta-4sin^(3)theta)sin theta`
`=4cos^(4)theta-3 +4 sin^(4)theta`
`=4cos^(4)theta-3+4(1-cos^(2)theta)^(2)` अब सरल करने पर
Discussion
38.

सिद्ध कीजिए कि `4(cos^(3)10^(@)+sin^(3)20^(@))=3(cos10^(@)+sin 20^(@))`

Answer» बायाँ पक्ष `=4(cos^(3)10^(@)+sin^(3)20^(@))=4[(1)/(4)(cos3xx10^(@)+3cos10^(@))xx(1)/(4)(3sin 20^(@)-sin 3xx20^(@))]`
`=4xx(1)/(4){cos 10^(@)+3cos10^(@)+3sin 20^(@)-sin 60^(@)}`
`=(sqrt3)/(2)+3cos10^(@)+3sin 20^(@)-(sqrt3)/(2)=3cos 10^(@)+3sin 20^(@) = ` दायाँ पक्ष
Discussion
39.

यदि A, B, C किसी त्रिभुज के कोण हैं तो सिद्ध कीजिए कि `cos A+cos B + cos C=1+4sin.(A)/(2)sin.(B)/(2)sin.(C)/(2)`

Answer» क्योंकि A, B, C त्रिभुज के कोण हैं इसलिए
`A+B+C=pi`
`rArr" "(A+B)/(2)=(pi)/(2)-(C)/(2)`
`rArr" "cos((A+B)/(2)) = cos ((pi)/(2)-(C)/(2))=sin.(C)/(2)" …(i)"`
बायाँ पक्ष `=(cos A +cos B)+cos C`
` =2cos (A+B)/(2) cos (A-B)/(2) +cos (2.(C)/(2))`
`=2sin.(C)/(2)cos(A-B)/(2)+1-2sin^(2).(C)/(2)" "(because cos theta = 1-2 sin^(2).(theta)/(2))`
`=1+2sin.(c)/(2)[cos.(A-B)/(2)-sin.(C)/(2)]`
`=1+2 sin.(C)/(2)[cos.(A-B)/(2)-cos.(A+B)/(2)]" (समी० (i ) से )" `
`=1+2 sin .(c)/(2) [2sin.(A)/(2).sin.(B)/(2)]`
`=1+4 sin.(A)/(2)sin.(B)/(2)sin.(C)/(2)=` दायाँ पक्ष
Discussion
40.

सिद्ध कीजिए कि `3sintheta-sin 3 theta=(4sin theta)/(1+cot^(2)theta)`

Answer» बायाँ पक्ष `=3sin theta-sin3theta=3sin theta-(3sin theta-4sin^(3)theta)`
`=3sin theta-3sin theta+4sin^(3)theta=4sin^(3)theta=4theta sin^(2)theta`
`=4sin theta.(1)/("cosec"^(4)theta)=(4sin theta)/(1+cot^(2)theta)=` दायाँ पक्ष
Discussion
41.

सिद्ध कीजिए कि `(1-sin 2theta)/(1+sin 2 theta)=((1-tan theta)/(1+tan theta))^(2)`

Answer» बायाँ पक्ष `=(1-sin 2theta)/(1+sin 2theta)=(1-((2tantheta)/(1+tan^(2)theta)))/(1+((2tantheta)/(1+tan^(2)theta)))` अब सरल करने पर
Discussion
42.

यदि `sintheta=(15)/(17)" व "cos phi=(12)/(13),` जहाँ `theta` व `phi` प्रथम चतुर्थांश में आते हो, तब निम्न के मान ज्ञात कीजिए | `cos(theta-phi)`

Answer» प्रथम चतुर्थांश में, `cos theta=(8)/(17), sin phi=(5)/(13)`
Discussion
43.

यदि `2sin theta =x+(1)/(x)`, तो सिद्ध कीजिए कि `sin 3 theta =-(1)/(2)(x^(3)+(1)/(x^(3)))`

Answer» दिया है - `sin theta=(1)/(2)(x+(1)/(x))`
हम जानते हैं, कि `sin 3 theta = 3 sin theta - 4sin^(3)theta` ltbtgt `=3.(1)/(2)(x+(1)/(x))-4[(1)/(2)(x+(1)/(x))]^(3)`
`=(3)/(2)(x+(1)/(x))-(1)/(2)(x+(1)/(x))^(3)`
`=-(1)/(2)[(x+(1)/(x))^(3)-3(x+(1)/(x))]`
`=-(1)/(2)[x^(3)+(1)/(x^(3))+3(x+(1)/(x))-3(x+(1)/(x))]`
`=-(1)/(2)(x^(3)+(1)/(x^(3)))" "` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
44.

सिद्ध कीजिए कि यदि `theta=(pi)/(7),` तो सिद्ध कीजिए कि `cos theta cos 2 theta cos 3theta=(1)/(2^(3))`

Answer» बायाँ पक्ष `=cos thetacos2thetacos3theta=(1)/(2sin theta)(2sin thetacos theta cos 2 thetacos 3theta)`
`=(1)/(2sin theta)(sin 2thetacos 2 theta cos 3theta)`
`=(1)/(4sin theta)(sin 4 theta cos 3 theta)=(1)/(4sin theta)[sin(pi-3theta)cos 3 theta]`
`=(1)/(4sin theta)sin 3theta cos 3theta=(1)/(8sin theta)sin 6 theta=(1)/(sin theta)sin(pi-theta)" "(because theta=(pi)/(7)" दिया है ")`
`=(1)/(8 sin theta) sin theta=(1)/(8)=(1)/(2^(3))=` दायाँ पक्ष
Discussion
45.

सिद्ध कीजिए कि - `sin^(2)24^(@)-sin^(2)6^(@)=(1)/(8)(sqrt5-1)`

Answer» बायाँ पक्ष `=sin^(2)24^(@)-sin^(2)6^(@)`
`=sin (24^(@)+6^(@))sin(24^(@)-6^(@))=sin 30^(@) sin 18^(@)`
`=(1)/(2)xx(sqrt5-1)/(4)=(1)/(8)(sqrt5-1) = ` दायाँ पक्ष
Discussion
46.

सिद्ध कीजिए कि - `cos^(2)48^(@)-sin^(2)12^(@)=(sqrt5+1)/(8)`

Answer» बायाँ पक्ष `=cos^(2)48^(@)-sin^(2)12^(@)`
`=cos(48^(@)+12^(@))cos(48^(@)-12^(@))`
`" "[because cos^(2)A-sin^(2)B=cos(A+B)cos(A-B)]`
`=cos 60^(@)cos 36^(@)`
`=(1)/(2)((sqrt5+1))/(4)=(sqrt5+1)/(8)=` दायाँ पक्ष
Discussion
47.

यदि `A+B=(pi)/(2)`, तो सिद्ध कीजिए कि `cosAcosB` का उच्चतम मान ` (1)/(2)` है।

Answer» माना `x=cosA cos B=(1)/(2)(2cosAcosB)=(1)/(2)[cos(A+B)+cos(A-B)]=(1)/(2)[cos90^(@)+cos(A-B)]`
`=(1)/(2)cos(A-B)`
परन्तु `-1 le cos (A-B)le 1 rArr -(1)/(2)le (1)/(2)cos(A-B)le(1)/(2)`
`rArr -(1)/(2) le x le(1)/(2) rArr -(1)/(2)le cos A cos Ble(1)/(2)`
Discussion
48.

यदि ` cos theta=(1)/(2)(a+(1)/(a))` तो सिद्ध कीजिए कि `cos 2 theta =(1)/(2)(a^(2)+(1)/(a^(2)))`

Answer» दिया है- `cos theta=(1)/(2)(a+(1)/(a))`
हम जानते हैं कि
`cos 2 theta = 2 cos^(2) theta-1`
`=2((1)/(2)(a+(1)/(a)))^(2)-1`
`=2xx(1)/(4)(a^(2)+(1)/(a^(2))+2)-1`
`=(1)/(2)(a^(2)+(1)/(a^(2)))+1-1=(1)/(2)(a^(2)+(1)/(a^(2)))" "` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
49.

सिद्ध कीजिए कि - `sin.(pi)/(10)+sin.(13pi)/(10)=-(1)/(2)`

Answer» बायाँ पक्ष `=sin.(pi)/(10)+sin.(13pi)/(10)`
`=sin.(pi)/(10)+sin.(pi+(3pi)/(10))=sin.(pi)/(10)-sin.(3pi)/(10)`
`=sin 18^(@)-sin 54^(@)`
`=sin 18^(@)-sin(90^(@)-36^(@))`
`=sin 18^(@)-cos 36^(@)=(sqrt5-1)/(4)-(sqrt5+1)/(4)=-(1)/(2)=` दायाँ पक्ष
Discussion
50.

सिद्ध कीजिए कि `tan((pi)/(4)+theta)+tan((pi)/(4)-theta)=2 sec 2 theta`

Answer» बायाँ पक्ष `=tan((pi)/(4)+theta)+tan((pi)/(4)-theta)`
`=((tanpi//4+tan theta)/(1-tan pi//4 tan theta))+((tan pi//4-tan theta)/(1+tan pi//4 tan theta))`
`=((1+tan theta)/(1-tan theta))+((1-tan theta)/(1+tan theta))" "(because tan.(pi)/(4)=1)`
`=((1+tan theta)^(2)+(1-tan theta)^(2))/((1-tan theta)(1+tan theta))`
`=((1+tan^(2) theta+2 tan theta)+(1+tan^(2) theta-2 tan theta))/(1-tan^(2)theta)`
`=(2(1+tan^(2)theta))/((1-tan^(2)theta))=(2)/(cos 2 theta)`
`= 2 sec 2 theta = `दायाँ पक्ष
Discussion