Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता वितरणों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए। (i) `{:(X,0,1,2),(P(X),0.4,0.4,0.2):}` (ii) `{:(X,0,1,2,3,4),(P(X),0.1,0.5,0.2,0.1,0.3):}`

Answer» (i) यहाँ प्रायिकताओं का योगफल = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0.4+0.4+0.2=1
अतः प्रायिकताओं का दिया हुआ वितरण यादृच्छिक चर X के लिए प्रायिकता वितरण है।
(ii) यहाँ प्रायिकताओं का योगफल
`=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)`
`=0.1+0.5+0.2+0.1+0.3=1.2ne1`
अतः प्रायिकताओं का दिया हुआ वितरण प्रायिकता वितरण नहीं है।
Discussion
2.

एक अनभिनत पासा को एक बार फेंका जाता है। यदि यादृच्छिक चर निम्न प्रकार परिभाषित है : X = `{{:("1, यदि परिणाम सम संख्या है।"),("0, यदि परिणाम विषम संख्या है।"):}` X का प्रायिकता बंटन ज्ञात करें।

Answer» एक पासा को फेंकने पर या तो सम संख्या आता है या विषम संख्या अतः प्रश्न के अनुसार परिणाम 1 तथा 0 है।
अब P (X = 1) = सम संख्या आने की प्रायिकता = P (2 या 4 या 6) = `(3)/(6) = (1)/(2)`
तथा P(X = 0) = विषम संख्या आने की प्रायिकता = P (1 या 3 या 5) = `(3)/(6)=(1)/(2)`
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है :
`{:(X,0,1),(P(X),(1)/(2),(1)/(2)):}`
Discussion
3.

एक सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक पट या लगातार चार बार चित न आ जाये। उछालो की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात करें।

Answer» माना कि यादृच्छिक चर (उछालो की संख्या) X है।
S = दिए गए यादृच्छ प्रयोग के लिए प्रतिदर्श समष्टि
तो `S={T,HT,HHT,HHHT,HHHH}`
स्पष्टत :, X के संभव मान 1, 2, 3 या 4 है।
अब `P(X=1)=P(T)=(1)/(2)`
`P(X=2)=P(HT)=P(H).P(T)=(1)/(2).(1)/(2)=(1)/(4)`.
`P(X=3)=P(HHT)=P(H).P(H).P(T)=(1)/(2).(1)/(2).(1)/(2)=(1)/(8)`
तथा `P(X=4)=P(HHHT या HHHH) = P(HHHT)+P(HHHH)`
`=P(H).P(H).P(H).P(T)+P(H).P(H).P(H).P(H)`
`=(1)/(2).(1)/(2).(1)/(2).(1)/(2)+(1)/(2).(1)/(2).(1)/(2).(1)/(2)=(1)/(8)`
अतः X का अभीष्ट प्रायिकता बंटन है :
`{:(X,1,2,3,4),(P(X),(1)/(2),(1)/(4),(1)/(8),(1)/(8)):}`
Discussion
4.

एक यादृच्छिक चर X का निम्नलिखित प्रायिकता बंटन है : `{:(X,0,1,2,3,4,5,6,7,8),(P(X=x),a,3a,5a,7a,9a,11a,13a,15a,17a):}` a का मान ज्ञात करें

Answer» चूँकि किसी प्रायिकता बंटन में सभी प्रायिकताओं का योगफल 1 (इकाई) होता है।
`therefore SigmaP(X)=1`
`implies P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=8)=1`
`implies a+3a+5a+...+17a=1`
`implies(9)/(2).[2a+(9-1).2a]=1` [A.P. का योगफल]
`implies (9)/(2).18a=1`
`implies a=(1)/(81)`
Discussion
5.

एक यादृच्छिक चर X का निम्नलिखित प्रायिकता बंटन है : `{:(X,0,1,2,3,4,5,6,7),(P(X),0,k,2k,2k,3k,k^(2),2k^(2),7k^(2)+k):}` ज्ञात करें (i) k (ii) `P(Xgt6)` (iii) `P(0ltXlt3)`

Answer» (i) `underset(X=0)overset(7)SigmaP(X)=1`
`implies0+k+2k+2k+3k+k^(2)+2k^(2)+(7k^(2)+k)=1`
`implies 10k^(2)+9k-1=0implies(k+1)(10k-1)=0`
`implies k=(1)/(10)" "[because kgt0]`
(ii) `P(Xgt6)=P(X=7)=7k^(2)+k=(7)/(100)+(1)/(10)=(17)/(100)`
(iii) `P(0ltxlt3)=P(X=1)+P(X=2)`
`=k+2k=3k=(3)/(10)`
Discussion
6.

पासो के एक जोड़े को तीन बार उछाला जाता है। यदि यादृच्छिक चर X द्विको की संख्या है, तो X का प्रायिकता बंटन ज्ञात करें।

Answer» माना कि यादृच्छिक चर (द्विको की संख्या) X है।
X के संभव मान 0, 1, 2 है।
माना कि E = पासे के एक जोड़े को एक बार उछालने पर द्विक आने की घटना
तो `P(E)=(6)/(36)=(1)/(6)impliesP(barE)=1-P(E)=(5)/(6)`
अब `P(X=0)=P(barE_(1)barE_(2))=P(barE_(1))P(barE_(2))=(5)/(6)xx(5)/(6)=(25)/(36)`
P(X=1)=P(`E_(1)barE_(2)` या, `barE_(1)E_(2)`)=`P(E_(1)barE_(2))+P(barE_(1)E_(2))`
`=P(E_(1))P(barE_(2))+P(barE_(1))P(E_(2))`
`=(1)/(6)xx(5)/(6)+(5)/(6)xx(1)/(6)=(10)/(36)`
`P(X=2)=P(E_(1)E_(2))=P(E_(1))P(E_(2))`
`=(1)/(6)xx(1)/(6)=(1)/(36)`
अतः X का प्रायिकता बंटन है : `{:(X,0,1,2),(P(X),(25)/(36),(10)/(36),(1)/(36)):}`
Discussion
7.

30 बल्बों के एक ढेर से, जिसमे 6 बल्ब खराब है, 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यदृच्छया प्रतिस्थापना के साथ निकला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।

Answer» माना कि यादृच्छिक चर (3 बल्ब निकालने पर खराब बल्बों की संख्या) X है।
स्पष्टत : X के संभव मान 0, 1, 2, 3 है।
माना कि `D_(1)` = पहले ड्रा में खराब बल्ब निकालने की घटना
`D_(2)` = दूसरे ड्रा में खराब बल्ब निकालने की घटना
`D_(3)` = तीसरे ड्रा में खराब बल्ब निकालने की घटना
चूँकि बल्बों के ढेर में 6 खराब और 24 ठीक बल्ब है तथा प्रत्येक ड्रा के बाद निकाला गया बल्ब प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
`therefore P(D_(1))=P(D_(2))=P(D_(3))=(6)/(30)=(1)/(5)`
स्पष्टत `D_(1), D_(2), D_(3)` स्वतन्त्र घटनाएँ है।
अब `P(X=0)=P(barD_(1)barD_(2)D_(3))=P(barD_(1))P(barD_(2))P(barD_(3))`
`=(4)/(5)xx(4)/(5)xx(4)/(5)=(64)/(125)`
P(X=1)=P(`D_(1)barD_(2)barD_(3)` या, `barD_(1)D_(2)barD_(3)` या, `barD_(1)barD_(2)D_(3)`)
`=P(D_(1)barD_(2)barD_(3))+P(barD_(1)D_(2)barD_(3))+P(barD_(1)barD_(2)D_(3))`
`=P(D_(1))P(barD_(2))P(barD_(3))+P(barD_(1))P(D_(2))P(barD_(3))+P(barD_(1))P(barD_(2))P(D_(3))`
`=(1)/(5)xx(4)/(5)xx(4)/(5)+(4)/(5)xx(1)/(5)xx(4)/(5)+(4)/(5)xx(4)/(5)xx(1)/(5)`
`=(16)/(125)+(16)/(125)+(16)/(125)=(48)/(125)`
P(X=2)=P(`D_(1)D_(2)barD_(3)` या, `D_(1)barD_(2)D_(3)` या, `barD_(1)D_(2)D_(3)`)
`=P(D_(1)D_(2)barD_(3))+P(D_(1)barD_(2)D_(3))+P(barD_(1)D_(2)D_(3))`
`=P(D_(1))P(D_(2))P(barD_(3))+P(D_(1))P(barD_(2))P(D_(3))+P(barD_(1))P(D_(2))P(D_(3))`
`=(1)/(5)xx(1)/(5)xx(4)/(5)+(1)/(5)xx(4)/(5)xx(1)/(5)+(4)/(5)xx(1)/(5)xx(1)/(5)`
`=(4)/(125)+(4)/(125)+(4)/(125)=(12)/(125)`
`P(X=3)=P(D_(1)D_(2)D_(3))`
`=P(D_(1))P(D_(2))P(D_(3))=(1)/(5)xx(1)/(5)xx(1)/(5)=(1)/(125)`
`therefore X` का अभीष्ट प्रायिकता बंटन है :
`{:(X,0,1,2,3),(P(X),(64)/(125),(48)/(125),(12)/(125),(1)/(125)):}`
Discussion
8.

एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन P(X) निम्न प्रकार से है, जहाँ k कोई संख्या है। `P(X)={{:(k" यदि (if) X = 0" ),(2k" यदि (if) X = 1" ),(3k" यदि (if) X = 2"),(0" अन्यथा "):}` (i) k का मान ज्ञात कीजिए (ii) `P(Xlt2),P(Xlt2),P(Xge2)` ज्ञात कीजिए।

Answer» (i) प्रायिकता फलन P(X) के लिए
(i) `P(X) ge 0` तथा (ii) `SigmaP(X)=1`
अब `SigmaP(X)=1impliesk+2k+3k+0=1implies6k=1impliesk=(1)/(6)gt0`
(ii) `P(Xlt2)=P(X=0)+P(X=1)`
`=k+2k=3k=3xx(1)/(6)=(1)/(2)`
`P(Xle2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)`
`=k+2k+3k=6k=6xx(1)/(6)=1`
तथा `P(Xge2)=P(X=2)+P(X=3)`
`=3k+0=3k=3xx(1)/(6)=(1)/(2)`
Discussion
9.

प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यदृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `(14)/(3)`
Discussion