बहुपद f (x) = x3 + 3px2 + 3qr + r के मूलों �

1.	बहुपद f (x) = x3 + 3px2 + 3qr + r के मूलों के समान्तर श्रेणी में होने के प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
Answer» यदि f (x) = x³ + 3px² + 3qx + r ∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं। अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d ∴ α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\) a – d + a + a + d = \(\frac{-3p}{1}\) ⇒ 3a = -3p ⇒ a = -p तथा α·β + β·γ + γ·α = \(\frac{c}{a}\) (a – d) × a + a × (a + d) + (a + d)·(a – d) = \(\frac{3q}{2}\) a² – ad + a² + ad + a² – d² = 3q 3a² – d² = 3q a = -p रखने पर, 3(-p)² – d² = 3q -3p² – d² = 3q d² = 3p² – 3q अब α·β·γ = \(\frac{-d}{a}\) (a – d) × a × (a + d) = \(\frac{-r}{1}\) a × (a² – d²) = -r a = -p तथा d² = 3p² – 3q रखने पर, (-p) x [p² – (3p² – 3q)] = -r -p(p² – 3p² + 3q) = -r p(-2p² + 3q) = r -2p³ + 3pq = r -2p³ + 3pq – r = 0 2p³ – 3pq + r = 0

बहुपद f (x) = x3 + 3px2 + 3qr + r के मूलों के समान्तर श्रेणी में होने के प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।

Answer»

यदि f (x) = x³ + 3px² + 3qx + r

∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।

अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d

∴ α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)

a – d + a + a + d = \(\frac{-3p}{1}\)

⇒ 3a = -3p

⇒ a = -p

तथा α·β + β·γ + γ·α = \(\frac{c}{a}\)

(a – d) × a + a × (a + d) + (a + d)·(a – d) = \(\frac{3q}{2}\)

a² – ad + a² + ad + a² – d² = 3q

3a² – d² = 3q

a = -p रखने पर,

3(-p)² – d² = 3q

-3p² – d² = 3q

d² = 3p² – 3q

अब α·β·γ = \(\frac{-d}{a}\)

(a – d) × a × (a + d) = \(\frac{-r}{1}\)

a × (a² – d²) = -r

a = -p तथा d² = 3p² – 3q रखने पर,

(-p) x [p² – (3p² – 3q)] = -r

-p(p² – 3p² + 3q) = -r

p(-2p² + 3q) = r

-2p³ + 3pq = r

-2p³ + 3pq – r = 0

2p³ – 3pq + r = 0