1.

दर्शाइये की वक्र `xy =a^(2)`और `x^(2)+ y^(2)=2a^(2)` एक-दूसरे को स्पर्श करते है .

Answer» यहाँ
`xy =a^(2) " "...(1)`
`x^(2)+ y^(2) =2a^(2)" "...(2)`
समी (1 ) से `y=(a^(2))/(x).` समी (2 ) में y का मान रखने पर,
`x^(2)+ ((a^(2))/(x))^(2)=2a^(2)`
`impliesx^(2) +(a^(4))/(x^(2))=2a^(2)`
`impliesx^(4)+a^(4)=2a^(2)x^(2)`
`impliesx^(4)-2a^(2)x^(2)+a^(2)=0`
`implies(x^(2)-a^(2))=0`
`(x+a) ^(2)(x-a) ^(2)=0`
`implies x+a=0,x -a =0`
`implies x=a, -a`
जब `x=a,` तब `y=(a^(2))/(x)=(a^(2))/(a)=a`
और `x=-a, y=(a^2)/(x)=(a^(2))/(-a)=-a`
अतः दोनों वक्र बिन्दु (a ,a ) और `(-a ,-a )` पर प्रतिच्छेद करते है .
समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`x(dy)/(dx) +y=0`
`implies(dy)/(dx) =-y/x" "...(3)`
समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x+2y (dy)/(dx) =0`
`implies(dy)/(dx) =-x/y" "...(4)`
बिन्दु `(a ,a ) ` पर प्रतिच्छेद कोण-
`m_(1)=((dy)/(dx))_(""(a,a))=-(a)/(a)=-1`
`impliesm_(1)=-` [समी (3 ) से]
`m_(2)=((dy)/(dx))_(""(a, a))= -a/a=-1`
`implies m_(2)=-1` [समी (4 ) से]
स्पष्टत: `m_(1)=m_(2)` इसलिए दोनों वक्रो एक-दूसरे को बिन्दु (a ,a ) पर स्पर्श करते है .
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते है कि दोनों वक्र बिन्दु `(-a ,a )` पर स्पर्श करते है .


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