(i) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{11} (2 + 3^n)\)

= (2 + 3¹) + (2 + 3²) + (2 + 3³) + … + (2 + 3¹¹)

= 2×11 + 3¹ + 3² + 3³ + … + 3¹¹

= 22 + 3(3¹¹ – 1)/(3 – 1) [by using the formula, a(1 – rⁿ )/(1 – r)]

= 22 + 3(3¹¹ – 1)/2

= [44 + 3(177147 – 1)]/2

= [44 + 3(177146)]/2

= 265741

(ii) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2^k + 3^{k - 1})\)

= (2 + 3⁰) + (2² + 3) + (2³ + 3²) + … + (2ⁿ + 3^n-1)

= (2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ) + (3⁰ + 3¹ + 3² + …. + 3^n-1)

Firstly let us consider,

(2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ)

Where, a = 2, r = 2²/2 = 4/2 = 2, n = n

By using the formula,

Sum of GP for n terms = a(rⁿ – 1 )/(r – 1)

= 2 (2ⁿ – 1)/(2 – 1)

= 2 (2ⁿ – 1)

Now, let us consider

(3⁰ + 3¹ + 3² + …. + 3ⁿ)

Where, a = 3⁰ = 1, r = 3/1 = 3, n = n

By using the formula,

Sum of GP for n terms = a(rⁿ – 1 )/(r – 1)

= 1 (3ⁿ – 1)/ (3 – 1)

= (3ⁿ – 1)/2

So,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2^k + 3^{k - 1})\)

= (2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ) + (3⁰ + 3¹ + 3² + …. + 3ⁿ)

= 2 (2ⁿ – 1) + (3ⁿ – 1)/2

= 1/2 [2ⁿ⁺² + 3ⁿ – 4 – 1]

= 1/2 [2ⁿ⁺² + 3ⁿ – 5]

(iii) \(\displaystyle\sum_{n=2}^{10} 4^n\)

= 4² + 4³ + 4⁴ + … + 4¹⁰

Where, a = 4² = 16, r = 4³/4² = 4, n = 9

By using the formula,

Sum of GP for n terms = a(rⁿ – 1 )/(r – 1)

= 16 (4⁹ – 1)/(4 – 1)

= 16 (4⁹ – 1)/3

= 16/3 [4⁹ – 1]