1.

f के सभी सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है। `f(x)={{:(-2",","यदि ",xle-1),(2x",","यदि ",-1ltxle1),("2,","यदि ",xgt1):}`

Answer» `f(x)={{:(-2",","यदि ",xle-1),(2x",","यदि ",-1ltxle1),("2,","यदि ",xgt1):}`
यदि `x lt -1` तो `f(x0=-2` बहुपदी फलन है जो सतत है।
यदि `-1ltx lt1` तो `f(x)=2x` बहुपदी फलन है तो सतत है।
यदि `xgt1` तो `f(x)=2` बहुपदी फलन है जो सतत है।
अब `x=-1` पर
`f(-1)=-2`
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना "-1-h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(-1-h)" "rArr -1-h rarr-1`
`=underset(hrarr0)(lim)(-2)=-2" "rArr h rarr0`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "-1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)2(-1+h)" "rArr - 1 +hrarr-1`
`=underset(hrarr0)(lim)2(-1+h)" "rArr" "hrarr0`
`=2(-1+0)=-2`
`because" "L.H.L. = f(-1)=R.H.L.`
`therefore" "f(x),x=-1` पर सतत है।
x= 1 पर
`f(1)=2xx1=2`
`L.H.L.=underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना "1-h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)" "rArr 1-hrarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)2(1-h)=2(1-0)=2" "rArr hrarr0`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना "1+h=x`
`=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr 1+hrarr1`
`=underset(hrarr0)(lim)2 =2" "rArr hrarr0`
`because" "L.H.L. = f(1)=R.H.L.`
`therefore" "f(x),x=1` पर सतत है ।
अतः`f(x),x` के सभी मानों के लिए सतत है।


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