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Factor of x^5-y^5ans this question correctly I will mark as brainlist |
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Answer» Explanation: x 5 − y 5 First note that if x = y then x 5 − y 5 = 0 . Hence we can DEDUCE that ( x − y ) is a factor: x 5 − y 5 = ( x − y ) ( x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + x y 3 + y 4 ) We can factor the remaining quartic by making USE of its symmetry, expressing it in terms of a quadratic in ( x y + y x ) as follows: Note that: ( x y + y x ) 2 = x 2 y 2 + 2 + y 2 x 2 So we find: x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + x y 3 + y 4 = x 2 y 2 ( x 2 y 2 + x y + 1 + y x + y 2 x 2 ) = x 2 y 2 ( ( x y + y x ) 2 + ( x y + y x ) − 1 ) = x 2 y 2 ( ( x y + y x ) 2 + ( x y + y x ) + 1 4 − 5 4 ) = x 2 y 2 ⎛ ⎝ ( ( x y + y x ) + 1 2 ) 2 − ( √ 5 2 ) 2 ⎞ ⎠ = x 2 y 2 ( ( x y + y x ) + 1 2 ) − √ 5 2 ) ( ( x y + y x ) + 1 2 ) + √ 5 2 ) = x 2 y 2 ( x y + ( 1 2 − √ 5 2 ) + y x ) ( x y + ( 1 2 + √ 5 2 ) + y x ) = ( x 2 + ( 1 2 − √ 5 2 ) x y + y 2 ) ( x 2 + ( 1 2 + √ 5 2 ) x y + y 2 ) So putting it all together, we have: x 5 − y 5 = ( x − y ) ( x 2 + ( 1 2 − √ 5 2 ) x y + y 2 ) ( x 2 + ( 1 2 + √ 5 2 ) x y + y 2 ) |
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