(i) Given as f(x) = e^x, g(x) = log_e x

Let f: R → (0, ∞); and g: (0, ∞) → R

Let us calculate fog,

Clearly, the range of g is a subset of the domain of f.

fog: (0, ∞) → R

(fog)(x) = f(g(x))

= f(log_e x)

= log_e e^x

= x 

Let us calculate gof,

Clearly, the range of f is a subset of the domain of g.

⇒ fog: R→ R

(gof)(x) = g(f(x))

= g(e^x)

= log_e e^x

= x

(ii) f(x) = x², g(x) = cos x

f: R→ [0, ∞); g: R → [−1, 1]

Let us calculate fog,

Clearly, the range of g is not a subset of the domain of f.

⇒ Domain (fog) = {x: x ∈ domain of g and g (x) ∈ domain of f}

⇒ Domain (fog) = x: x ∈ R and cos x ∈ R}

⇒ Domain of (fog) = R

(fog): R→ R

(fog)(x) = f(g(x))

= f(cos x)

= cos² x

Let us calculate gof,

Clearly, the range of f is a subset of the domain of g.

⇒ fog: R→R

(gof)(x) = g(f(x))

= g(x²)

= cos x²

(iii) Given f(x) = |x|, g(x) = sin x

f: R → (0, ∞) ; g : R → [−1, 1]

Let us calculate fog,

Clearly, the range of g is a subset of the domain of f.

⇒ fog: R → R

(fog)(x) = f(g(x))

= f(sin x)

= |sin x|

Let us calculate gof,

Clearly, the range of f is a subset of the domain of g.

⇒ fog : R→ R

(gof)(x) = g(f(x))

= g(|x|)

= sin |x|

(iv) Given f(x) = x + 1, g(x) = e^x

f: R → R ; g: R → [ 1, ∞)

Let us calculate fog:

Clearly, range of g is a subset of domain of f.

⇒ fog: R → R

(fog)(x) = f(g(x))

= f(e^x)

= e^x + 1

Let us compute gof,

Clearly, range of f is a subset of domain of g.

⇒ fog: R → R

(gof)(x) = g(f(x))

= g(x + 1)

= e^x+1

(v) Given f(x) = sin⁻¹ x, g(x) = x²

f: [−1,1] → [(-π)/2,π/2]; g : R → [0, ∞) 

Let us compute the fog:

Clearly, the range of g is not a subset of the domain of f.

Domain (fog) = {x: x ∈ domain of g and g (x) ∈ domain of f}

Domain (fog) = {x: x ∈ R and x² ∈ [−1, 1]}

Domain (fog) = {x: x ∈ R and x ∈ [−1, 1]}

Domain of (fog) = [−1, 1]

fog: [−1,1] → R 

(fog)(x) = f(g(x))

= f(x²)

= sin⁻¹(x²)

Let us compute the gof:

Clearly, the range of f is a subset of the domain of g.

fog: [−1, 1] → R

(gof)(x) = g(f(x))

= g(sin⁻¹ x)

= (sin⁻¹ x)²