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गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(2n+7) lt (n+3)^(2),n∈N` |
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Answer» (i) माना `P(n):n ! lt (n+1)/(2)^(n)` चरण 1 n=2 `2!(2+1)/(2)^(2)` अथार्त `2 lt9/4` जोकि सत्य है `rarr` P(2) सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):m!lt(m+1)/(2)^(m)` चरण 3 P(n),n=m+1 के लिए सिद्ध करना है अथार्त `(m+1)! lt (m+2)/(2)^)(m+1)` इसलिए `(m+1)(m+1)/(2)^(m) lt (m+2)/(2)^(m+1)` हम जानते है की `(m+1)!=(m+1)(m+1)/(2)^(m)` `2lt(1+(1)/(m+1))^(m+1)` लईकिन प्रमेय से हम जानते है की `(1+(1)/(m+1))^(m+1)=1+(m+1)(1)/(m+1)... gt2` `rarr P(n),n=m+1` के लिए सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष है की `P(n),n in N` की सभी मानो के लिए सत्य है जहाँ `n gt 1` (ii) माना `P(n):(2n)!/(2^(2n)(n!)^(2) le (1)/(3n+1)^(1//2),n ge 1` चरण n=1 की लिए बायाँ पक्ष `=(2xx1)!/(2^(2xx1)(1!)^(2)=(2!)/(2^(2).(1)^(2)=2/4=1/2` दायाँ पक्ष `=(1)/(3xx1+1)^(1//2)=(1)/(4)^(1//2)=1/2` `rarr` P(n),n=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m की लिए सत्य है अथार्त `P(m):(2m)!/(2^(2m)(m!)^(2) le (1)/(3x+1)^(1//2) nm ge 1` चरण 3 P(n),n=m+1 की लिए सत्य सिद्ध करना चाहते है अथार्त सिद्ध करना है की `rarr(2x+2)!/(2^(2m+2)[(m+1)!]^(2) le (1)/(3x+4)^(1//2)` या `3m(-4m-3)+4(3x^(2)+2m) le0` या `-m le 0` जोकि सत्य है क्योकि `m ge 1` अतः गणितीय आगमन सिद्धांत से `P(n),n in N` के सभी मानो की लिए सत्य है जहाँ `n gt 1` |
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