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गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(3)n^(3)-(n)/(105) n in N` एक पूर्णांक है |
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Answer» माना P(n) : `(n^(7))/(7)+(n^(5))/(5)+(2)/(5)n^(3)` एक धनात्मक पूर्णक है चरण 1: n=1 के लिए `P(1):(1)^(7)/(7)+(1)^(5)/(5)+2/3(1)^(3)-1/105=(15+21+70-1)/(105)=105/105=1` जोकि एक धनात्मक पूर्णक है P(n)=1 के लिए सत्य है चरण 2 माना P(n),n=m के लिए सत्य है अथार्त `P(m):(m^(7))/(7)+(m^(5))/(5)+2/3m^(3)-(m)/(105)` एक पूर्णक है =K चरण 3 `(m+1)^(7)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)` `1/7(m^(7)+7m^(6)+10m^(3)+10m^(2)+5m+1)+2/3(m^(3)+3m^(2)+3m+1)-(m)/(105)-(1)/(105)` `=k+m^(6)+3m^(5)+6m^(4)+7m^(3)+4m+1` = एक पूर्णक है अथार्त `P(m+1):(m+1)6(7)/(7)+(m+1)^(5)/(7)+(m+1)^(5)/(5)+2/3(m+1)^(3)-(m+1)/(105)` `rarr P(n),n=m+1` के लिए भी सत्य है इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है की `P(n), n N` की सभी मानो के लिए सत्य है |
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