If `af(x)+bf((1)/(x))=(1)/(x)`, where `anebandxne0`, find f(x).

1.	If `af(x)+bf((1)/(x))=(1)/(x)`, where `anebandxne0`, find f(x).
Answer» We have, `af(x)+bf((1)/(x))=(1)/(x)" "…..(i)`. Replacing x by `(1)/(x)` in (i), we get `af((1)/(x))+bf(x)=x" "…..(ii)` Adding (i) and (ii), we get `a{f(x)+f((1)/(x))}+b{f(x)+f((1)/(x))}=(x+(1)/(x))`. `implies(a+b){f(x)+f((1)/(x))}=(x+(1)/(x))` `impliesf(x)+f((1)/(x))=(1)/((a+b))(x+(1)/(x))." "....(iii)` On subtracting (ii) from (i), we get `a{f(x)-f((1)/(x))}-b{f(x)-f((1)/(x))}=((1)/(x)-x)` `implies(a-b){f(x)-f((1)/(x))}=((1)/(x)-x)` `{f(x)-f((1)/(x))}=(1)/((a- b))((1)/(x)-x)." "......(iv)` On adding (iii) and (iv), we get `2f(x)={(x)/((a+b))-(x)/((a-b))}+{(1)/((a+b)x)+(1)/((a-b)x)}` `=((a-b)x-(a+b)x)/((a^(2)-b^(2)))+((a-b)+(a+b))/((a^(2)-b^(2))x)` `=(-2bx^(2)+2d)/((a^(2)-b^(2))x)=(2)/((a^(2)-b^(2)))((a)/(x)-bx)`. Hence, `f(x)=(1)/((a^(2)-b^(2)))((a)/(x)-bx)`.

Discussion