If sin x + a cos x = b, then |a sin x - cos x| is:1. \(\rm \sqrt{a^2 +

1.	If sin x + a cos x = b, then \|a sin x - cos x\| is:1. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 +1}\)2. \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\)3. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 -1}\)4. None of the above.
Answer» Correct Answer - Option 2 : \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\) Concept: sin2 θ + cos2 θ = 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Calculation: sin x + a cos x = b ⇒ (sin x + a cos x)2 = b2 ⇒ sin2 x + a2 cos2 x + 2 a sin x cos x = b2 ⇒ (1 - cos2 x) + a2 cos2 x + 2a sin x cos x = b2 ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x] ⇒ (a2 - 1) cos2 x + 2a sin x cos x = b2 - 1 ⇒ 2a sin x cos x = b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x ... (1) Let k = \|a sin x - cos x\| ⇒ k2 = (a sin x - cos x)2 ⇒ k2 = a2 sin2 x + cos2 x - 2a sin x cos x ⇒ k2 = a2 (1 - cos2 x) + cos2 x - 2a sin x cos x ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x] ⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - 2a sin x cos x ⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - [b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x] ... [Using equation (1)] ⇒ k2 = a2 - b2 + 1 ⇒ \(\rm k = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\). ∴ \(\rm \|a \sin x-\cos x\| = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\).

If sin x + a cos x = b, then |a sin x - cos x| is:1. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 +1}\)2. \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\)3. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 -1}\)4. None of the above.

Answer» Correct Answer - Option 2 : \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\)

Concept:

Calculation:

sin x + a cos x = b

⇒ (sin x + a cos x)2 = b2

⇒ sin2 x + a2 cos2 x + 2 a sin x cos x = b2

⇒ (1 - cos2 x) + a2 cos2 x + 2a sin x cos x = b2 ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x]

⇒ (a2 - 1) cos2 x + 2a sin x cos x = b2 - 1

⇒ 2a sin x cos x = b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x ... (1)

Let k = |a sin x - cos x|

⇒ k2 = (a sin x - cos x)2

⇒ k2 = a2 sin2 x + cos2 x - 2a sin x cos x

⇒ k2 = a2 (1 - cos2 x) + cos2 x - 2a sin x cos x ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x]

⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - 2a sin x cos x

⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - [b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x] ... [Using equation (1)]

⇒ k2 = a2 - b2 + 1

⇒ \(\rm k = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\).

∴ \(\rm |a \sin x-\cos x| = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\).