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• माना कि X एक अरिक्त समुच्चय है तथा `**,X ` के शक्ति समुच्चय P (X ) पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो `A **B = A cup B ` सभी `A , B in P (X ) ` के लिए। साबित करें कि `**`, समुच्चय P (X ) पर क्रमविनिमेय तथा साहचर्य दोनों है। `**` के सापेक्ष P (X ) में तत्समक अवयव निकालें। यह भी साबित करें कि P (X ) का व्युत्क्रमणीय अवयव केवल `phi in P (X )` है।
• दिखाएँ कि एक अवयव a वाले किसी समुच्चय पर परिभाषित सभी द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय तथा साहचर्य होते हैं तथा a तत्समक अवयव है और a , a का प्रतिलोम है।
• माना कि X एक अरिक्त समुच्चय हैं तथा माना कि `**, P (X )` (X का शक्ति समुच्चय ) पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो इस प्रकार परिभाषित है। `A ** B = A cap B, A , B in P(X) ` `**` के सापेक्ष P (X) का तत्समक अवयव निकालें।
• माना कि X एक अरिक्त समुच्चय हैं तथा माना कि `**, P (X )` (X का शक्ति समुच्चय ) पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो इस प्रकार परिभाषित है। `A ** B = A cap B, A , B in P(X) ` दिखाएँ कि P(X) का केवल अवयव X ही व्युत्क्रमणीय है।
• माना कि `A = Q xx Q ` माना कि `**`, A पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो `(a , b ) ** (c , d )=(ac , ad +b )` द्वारा परिभाषित है। तो, A का व्युत्क्रमणीय अवयव निकालें।
• माना कि `A=N xx N`, तथा माना कि `**`, A पर द्विआधारी संक्रिया है जो `(a,b)**(c,d)=(ad+bc,bd)` सभी `(a,b),(c,d) in N xx N` के लिए। दिखाएँ कि `**`, A पर साहचर्य है।
• माना कि `A=NN cup {0}xxNN cup {0}` तथा माना कि `**`, `A` पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो इस प्रकार परिभाषित है, `(a, b)**(c,d)=(a+c,b+d)` सभी `(a,b),(c,d) in A` के लिए । साबित करें कि `**`, समुच्चय `A` पर साहचर्य है। `A` में तत्समक अवयव भी निकालें यदि इसका अस्तित्व है।
• `**` , समुच्चय Q पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। ज्ञात करें कि संक्रिया साहचर्य है। `a ** b = ab^(2) AA a , b in Q`
• माना कि N पर `a **b=LCM(a , b)` सभी `a, b in N` द्वारा प्रदत्त द्विआधारी संक्रिया `**` है। N के कौन-कौन अवयव व्युत्क्रमणीय है ? उन्हें निकालें।
• समुच्चय Q पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। ज्ञात करें कि द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय है। `a **b = a + ab AA a , b in Q `