1.

फलक `x^(3) - 2x^(2) + x + 6` का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» माना `y = x^(3) - 2x^(2) + x + 6` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = 3x^(2) - 4x + 1` ...(2)
तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = 6x - 4` ...(3)
उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये
` (dy)/(dx) = 0 rArr 3x^(2)- 4x + 1 = 0` [समीकरण (2 ) से ]
` 3x^(2) - 3x - x + 1 = 0`
` rArr 3x(x-1) - (x-1) = 0`
` rArr (x-1)(3x-1) = 0`
` rArr x = 1 "या " x = 1/3`
x = 1 पर , `((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x=1) = 6 xx 1 - 4 = 2`(धन राशि )
अतः x = 1 पर फलक निम्निष्ठ है
` x = 1/3` पर , `((d^(2)y)/(dx^(2))+)x=1/3) = 6 xx 1/3 - 4 = - 2` (ऋण राशि )
अतः `x = 1/3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
फलक का निम्निष्ठ मान
समीकरण (1) में x = 1 रखने पर ,
` y = (1)^(3) - 2 (1)^(2) + 1 + 6 = 1 - 2 + 1 +6 = 6`
फलक का उच्चिष्ठ मान
समीकरण (1) में ` x = 1/3` रखने पर
` y = (1/3)^(3) - 2 (1/3)^(2) + 1/3 + 6`
` = (1-6+9+162)/27 = 166/27 = 6 4/27`
फलक का निम्निष्ठ मान = 6, उच्चिष्ठ मान =` 64/27`


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