1.

फलन `int(3x+1)/(2x^(2)-2x+3)dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Answer» माना `int(3x+1)/(2x^(2)-2x+3)dx" ...(1)"`
अंश को दो फलनों के योग जिसमें प्रथम फलन x का फलन जो कि हर का अवकल गुणांक है तथा दूसरा पद अचर है, के रूप में बदलने के लिये
`3x+1=A(d)/(dx)(" हर")+B=A(d)/(dx)(2x^(2)-2x+3)+B`
`=A(4x-2)+B=4Ax+(B-2A)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणकों की तुलना करने पर,
`4A=3 rArr A=(3)/(4)`
तथा `" "B-2A=1 rArr B=1+2((3)/(4))=(5)/(2)`
समीकरण (1 ) में `3x+1=(3)/(4)(4x-2)+(5)/(2)` रखने पर,
`I=int((3)/(4)(4x-2)+(5)/(2))/(2x^(2)-2x+3)dx`
`=(3)/(4)int((4x-2)dx)/(2x^(2)-2x+3)+(5)/(2)int(dx)/(2x^(2)-2x+3)`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)int(dx)/(x^(2)-x+(3)/(2))`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)int(dx)/(x^(2)-x+(1)/(4)+(3)/(2)-(1)/(4))`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)int(dx)/((x-(1)/(2))^(2)+((sqrt5)/(2))^(2))`
माना `x-(1)/(2)=t therefore dx=dt` तथा `(sqrt5)/(2)=a`
`I=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)int(dt)/(t^(2)+a^(2))`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)(1)/(a)tan^(-1)((t)/(a))`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(5)/(4)(2)/(sqrt5)tan^(-1)[(x-(1)/(2))/((sqrt5)/(2))]`
`=(3)/(4)log(2x^(2)-2x+3)+(sqrt5)/(2)tan^(-1)((2x-1)/(sqrt5))`


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