InterviewSolution
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Prove that (i) sin(A + B) sin(A – B) = sin2 A – sin2 B (ii) cos(A + B) cos(A – B) = cos2 A – sin2 B = cos2 B – sin2 A(iii) sin2(A + B) – sin2(A – B) = sin2A sin2B (iv) cos 8θ cos 2θ = cos2 5θ – sin2 3θ |
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Answer» (i) LHS = sin (A + B) sin (A – B) = (sin A cos B + cos A sin B) (sin A cos B – cos A sin B) = sin2 A cos2 B – cos2 A sin2 B = sin2 A (1 – sin2 B) – (1 – sin2 A) sin B = sin2 A – sin2 A sin2 B – sin2 B + sin2 A sin2 B = sin2 A – sin2 B = RHS (ii) LHS = cos (A + B) cos (A – B) = (cos A cos B – sin A sin B) (cos A cos B + sin (A sin B) = cos2 A cos2 B – sin2 A sin2 B = cos2 A (1 – sin2 B) – (1 – cos2 A) sin2 B = cos2 A – cos2 A sin2 B – sin2 B + cos2 A sin2 B = cos2 A – sin2 B = RHS Now cos2 A – sin2 B = (1 – sin2 A) – (1 – cos2 B) = 1 – sin2 A – 1 + cos2 B = cos2 B – sin2 A (iii) sin2 A – sin2 B = sin (A + B) sin (A – B) LHS = sin2(A + B) – sin2(A – B) = sin [(A + B) + (A – B)] [sin (A + B) – (A – B)] = sin 2A sin 2B = RHS (iv) LHS = cos 8θ cos 2θ = cos (5θ + 3θ) cos (5θ – 3θ). We know cos (A + B) cos (A – B) = cos2 A – sin2 B ∴ cos (5θ + 3θ) cos (5θ – 3θ) = cos2 5θ – sin2 3θ = RHS |
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