Show that 2 sin2 β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2 (α + β)

1.	Show that 2 sin2 β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2 (α + β) = cos 2α
Answer» LHS = 2 sin² β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2(α + β) = 2 sin² β + 4 (cos α cos β – sin α sin β) sin α sin β + (cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β) = 2 sin² β + 4 sin α cos α sin β cos β – 4 sin² α sin² β + cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β = 2 sin² β + sin 2α sin 2β – 4 sin² α sin² β + cos 2α cos 2β – sin2α sin2β = (1 – cos 2β) – (2 sin² α) (2 sin² β) + cos 2α cos 2β = (1 – cos 2β) – (1 – cos 2α) (1 – cos 2β) + cos 2α cos 2β = cos 2α

Show that 2 sin2 β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2 (α + β) = cos 2α

Answer»

LHS

= 2 sin² β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2(α + β)

= 2 sin² β + 4 (cos α cos β – sin α sin β) sin α sin β

+ (cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β)

= 2 sin² β + 4 sin α cos α sin β cos β – 4 sin² α sin² β + cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β

= 2 sin² β + sin 2α sin 2β – 4 sin² α sin² β + cos 2α cos 2β – sin2α sin2β

= (1 – cos 2β) – (2 sin² α) (2 sin² β) + cos 2α cos 2β

= (1 – cos 2β) – (1 – cos 2α) (1 – cos 2β) + cos 2α cos 2β

= cos 2α