1.

वक्र `y=4 x^(3) -2x^(5)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए, जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूलबिंदु से होकर जाती है.

Answer» यहाँ `y=4x^(3)-2x^(5)" "...(1)`
माना वक्र पर कोई बिन्दु `(x_(1), y_(1))` है .
`therefore y_(1) =4x_(1)^(3) -2x_(1)^(5)" "...(2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx) =12 x^(2) -10x^(4)`
`implies((dy)/(dx))_(""(x_(1), y_(1)))=12 x_(1)^(2)-10x_(1) ^(4)`
बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है-
`y-y_(1)=((dy)/(dx))_(""(x_(1), y_(1))).(x- x_(1))`
`impliesy -y_(1) =(12 x_(1)^(2)-10 x_(1)^(4)) (x-x_(1))`
चूँकि यह स्पर्श रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है.
`therefore 0-y_(1) =(12 x_(1)^(2)-10 x_(1)^(4))(0- x_(1))`
`impliesy_(1) =(12x_(1)^(2)-10x_(1)^(4))x_(1)" "...(3)`
समी (2 ) और (3 ) से,
`(12 x_(1)^(2)-10x_(1)^(4))x_(1) =4x_(1)^(3) -2x _(1)^(5)`
`implies 2x_(1)^(3)(6- 5x_(1)^(2))x_(1)=2x_(1)^(3) (2-x_(1)^(2))`
`implies2x_(1) ^(3)[6-5x_(1)^(2)-2+ x_(1)^(2) ]=0`
`implies 2x_(1)^(3) (4-4x_(1)^(2)) =0`
`impliesx_(1)^(3) =0` और `4-4x_(1)^(2) =1 `
`impliesx_(1)=0` और `x_(1)^(2)=1`
`impliesx_(1) =0` और `x=pm1`
अब समी (1 ) में क्रमश: `x _(1 ) =0 ,1 ` रखने पर,
`x_(1) =0, y_(1) =0`
` x_(1)= 1, y_(1) =4-2=2`
`x_(1) =-1, y_(1)=-4 +2 =-2`
अतः अभीष्ट बिन्दु `(0 ,0 ), (1 ,2 )` तथा `(-1 ,-2 )` है.


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