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यदि ` u = sqrt(a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) + sqrt( a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta)` तब `u^(2)`के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों में अंतर ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है : ` u = sqrt(a ^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta)+sqrt(a^(2) sin^(2) theta+ b^(2) cos ^(2) theta)` ` rArr u^(2) = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta + a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta` ` + 2(sqrt(a^(2) cos^(2) theta+ b^(2) sin^(2) theta))*(sqrt(a^(2) sin^(2) theta + b^(2) cos^(2) theta))` ` = a^(2) + b^(2) + 2 sqrt(x (a^(2) + b^(2) - x))` जहाँ ` x = a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta` ` rArr u^(2) = (a^(2)+b^(2)) + 2 sqrt((a^(2) + b^(2)) x - x^(2))` दोनों पक्षों का ` theta`के सापेक्ष अवकलन करने पर ` d/(d theta) (u^(2)) = 2/(2 sqrt((a^(2) + b^(2))x - x^(2)))(a^(2) + b^(2) - 2x) * (dx)/(d theta)` तथा ` (dx)/(d theta) = (b^(2) - a^(2)) sin 2 theta` ` :. (d(u^(2)))/(d theta) = ((a^(2)+b^(2) - 2x))/(sqrt((a^(2)+b^(2)) x - x^(2)))*(b^(2) - a^(2)) sin 2 theta` उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मानों के लिए ` (du^(2))/(d theta) = 0` ` rArr a^(2) + b^(2) = 2 ( a^(2) cos^(2) theta + b^(2) sin^(2) theta) "तथा " sin 2 theta = 0` ` rArr cos 2 theta(b^(2) - a^(2)) = 0 "तथा " sin 2 theta = 0` ` rArr cos 2 theta = 0 " तथा " theta = 0` ` rArr 2 theta = pi/2 "तथा " theta = 0` ` rArr theta = pi/4 "तथा " theta = 0` स्पष्टतः ` u^(2) ` उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ क्रमश : ` theta = pi/4 " व " theta = 0`पर होगा । ` :. u^(2)_("min") = ( a + b)^(2) " तथा " u^(2)_("max") = 2 (a^(2) + b^(2))` ` :. u^(2) _("max") - u^(2) _("min") = 2 ( a^(2) + b^(2)) - (a + b)^(2) = (a - b)^(2) ` |
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